Как можно вычислить площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен 60°?

Математика 8 класс Площадь фигур площадь прямоугольника вычисление площади стороны прямоугольника угол между диагоналями математика 8 класс Новый

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нам нужно знать длины его сторон. В данном случае у нас есть одна сторона, равная 5 см, и угол между диагоналями, равный 60°. Давайте разберем, как мы можем найти вторую сторону и затем вычислить площадь.

Шаг 1: Понимание диагоналей прямоугольника

В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются под углом. Угол между диагоналями равен 60°. Мы можем использовать свойства треугольников, образованных диагоналями, чтобы найти вторую сторону.

Шаг 2: Обозначим стороны

Обозначим известную сторону как a = 5 см, а неизвестную сторону как b. Поскольку угол между диагоналями равен 60°, мы можем использовать формулу для нахождения длины диагонали:

Длина диагонали D прямоугольника вычисляется по формуле:

D = √(a² + b²)

Шаг 3: Найдем длину диагонали через угол

Также известно, что угол между диагоналями равен 60°. Мы можем использовать свойства треугольника, образованного диагоналями. Если обозначить угол между диагоналями как α, то:

• Синус угла α можно выразить через стороны: sin(α) = a / D.
• Таким образом, sin(60°) = a / D.

Зная, что sin(60°) = √3/2, мы можем записать уравнение:

√3/2 = 5 / D.

Шаг 4: Найдем длину диагонали D

Перепишем уравнение для D:

D = 5 / (√3/2) = 10 / √3.

Шаг 5: Найдем вторую сторону b

Теперь подставим значение D в формулу для диагонали:

D = √(a² + b²) = 10 / √3.

Подставляем a = 5:

10 / √3 = √(5² + b²).

Квадрат обеих сторон:

(10 / √3)² = 25 + b².

100 / 3 = 25 + b².

Теперь выразим b²:

b² = 100 / 3 - 25 = 100 / 3 - 75 / 3 = 25 / 3.

Теперь найдем b:

b = √(25 / 3) = 5 / √3.

Шаг 6: Вычисляем площадь

Теперь, когда мы знаем обе стороны, можем вычислить площадь S прямоугольника:

S = a * b = 5 * (5 / √3) = 25 / √3 см².

Таким образом, площадь прямоугольника равна 25 / √3 см², что приблизительно равно 14.43 см².