Как решить уравнение, используя теоремы о равносильности уравнений: корень из(x^4+2x^2-15) = x^2 - 1?

Математика 8 класс Уравнения и неравенства уравнение теоремы о равносильности корень из решение уравнения математика 8 класс Новый

Для решения уравнения корень из(x^4+2x^2-15) = x^2 - 1 нам нужно следовать нескольким шагам. Начнем с того, что мы имеем дело с равенством, которое включает в себя корень. Чтобы избавиться от корня, мы можем возвести обе стороны уравнения в квадрат. Однако, прежде чем это сделать, важно помнить, что при возведении в квадрат мы можем получить лишние корни, поэтому в конце решения нужно будет проверить найденные значения.

1. Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

   Когда мы возводим обе стороны уравнения в квадрат, получаем:

   (корень из(x^4+2x^2-15))^2 = (x^2 - 1)^2

   Это упрощается до:

   x^4 + 2x^2 - 15 = x^4 - 2x^2 + 1

2. Переносим все слагаемые в одну сторону:

   Теперь мы можем перенести все слагаемые на одну сторону уравнения:

   x^4 + 2x^2 - 15 - x^4 + 2x^2 - 1 = 0

   Упрощаем это:

   4x^2 - 16 = 0

3. Решаем полученное уравнение:

   Теперь у нас есть простое уравнение:

   4x^2 - 16 = 0

   Добавим 16 к обеим сторонам:

   4x^2 = 16

   Теперь делим обе стороны на 4:

   x^2 = 4

   Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

   x = ±2

4. Проверяем найденные корни:

   Мы нашли два возможных значения для x: 2 и -2. Теперь необходимо проверить, являются ли они решениями исходного уравнения:

   • Для x = 2:

     Подставляем в исходное уравнение:

     корень из(2^4 + 2*2^2 - 15) = 2^2 - 1

     корень из(16 + 8 - 15) = 4 - 1

     корень из(9) = 3

     3 = 3 (истинно)

   • Для x = -2:

     Подставляем в исходное уравнение:

     корень из((-2)^4 + 2*(-2)^2 - 15) = (-2)^2 - 1

     корень из(16 + 8 - 15) = 4 - 1

     корень из(9) = 3

     3 = 3 (истинно)

Таким образом, оба корня x = 2 и x = -2 являются решениями данного уравнения.