Как решить уравнение x² + 25/x² = 24 и найти значения x + 5/x и x - 5/x? Пожалуйста, помогите пошагово объяснив процесс решения.

Математика 8 класс Решение уравнений решение уравнения x² + 25/x² найти значения x + 5/x x - 5/x пошаговое объяснение математика 8 класс Новый

Давайте решим уравнение x² + 25/x² = 24 шаг за шагом.

Шаг 1: Упростим уравнение.

Для начала, умножим обе стороны уравнения на x², чтобы избавиться от дроби:

• x² * (x² + 25/x²) = 24 * x²
• Это даст нам: x^4 + 25 = 24x².

Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду.

Перепишем уравнение так, чтобы все члены находились по одну сторону:

• x^4 - 24x² + 25 = 0.

Шаг 3: Введем замену переменной.

Чтобы упростить уравнение, сделаем замену: пусть y = x². Тогда уравнение примет вид:

• y² - 24y + 25 = 0.

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = -24, c = 25.
• D = (-24)² - 4 * 1 * 25 = 576 - 100 = 476.

Теперь найдем корни уравнения:

• y = (24 ± √476) / 2.
• √476 = √(4 * 119) = 2√119.
• Таким образом, y = (24 ± 2√119) / 2 = 12 ± √119.

Шаг 5: Найдем значения x.

Теперь вернемся к переменной x, помня, что y = x²:

• x² = 12 + √119 или x² = 12 - √119.

Теперь найдем x:

• x = ±√(12 + √119) или x = ±√(12 - √119).

Шаг 6: Найдем значения x + 5/x и x - 5/x.

Теперь, чтобы найти x + 5/x и x - 5/x, воспользуемся формулами:

• x + 5/x = x + 5/(√(12 + √119)) или x + 5/(√(12 - √119)),
• x - 5/x = x - 5/(√(12 + √119)) или x - 5/(√(12 - √119)).

Подставляя найденные значения x, вы сможете вычислить x + 5/x и x - 5/x. Это даст вам окончательные значения.

Итог: Мы нашли корни уравнения и выразили их через x. Теперь вы можете подставить полученные значения x в формулы для нахождения x + 5/x и x - 5/x.