Какова полная поверхность прямоугольного параллелепипеда, если длина его диагонали равна 6 см, а сумма всех его граней составляет 32 см?

Математика 8 класс Геометрия полная поверхность прямоугольный параллелепипед длина диагонали сумма граней задача по математике 8 класс геометрия объем и площадь Новый

Чтобы найти полную поверхность прямоугольного параллелепипеда, нам нужно использовать данные, которые у нас есть: длину диагонали и сумму всех его граней.

Обозначим длины сторон параллелепипеда как a, b и c. Полная поверхность (S) прямоугольного параллелепипеда рассчитывается по формуле:

S = 2(ab + ac + bc)

Также мы знаем, что длина диагонали (d) параллелепипеда вычисляется по формуле:

d = √(a² + b² + c²)

В нашем случае d = 6 см, тогда:

√(a² + b² + c²) = 6

Квадратируем обе стороны уравнения:

a² + b² + c² = 36

Теперь у нас есть два уравнения:

1. a² + b² + c² = 36
2. ab + ac + bc = 16 (так как сумма всех граней 32 см, делим на 2)

Теперь мы можем выразить одну из переменных через другие. Давайте выразим c через a и b:

c = √(36 - a² - b²)

Теперь подставим это значение в уравнение для суммы граней:

ab + a√(36 - a² - b²) + b√(36 - a² - b²) = 16

Это уравнение довольно сложное для решения, поэтому давайте попробуем подобрать значения для a, b и c, которые удовлетворяют обоим уравнениям.

Предположим, что стороны параллелепипеда равны. Пусть a = b = c. Тогда:

3a² = 36

Следовательно:

a² = 12
a = √12 ≈ 3.46

Теперь подставим это значение в уравнение для суммы граней:

3a² = 16
3(3.46)² ≈ 36

Таким образом, мы можем попробовать другие комбинации. Например, пусть a = 2, b = 4, c = 4:

2 4 + 2 4 + 4 * 4 = 8 + 8 + 16 = 32

Теперь проверим диагональ:

√(2² + 4² + 4²) = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6

Теперь, когда мы нашли a, b и c, можем рассчитать полную поверхность:

S = 2(ab + ac + bc) = 2(24 + 24 + 44) = 2(8 + 8 + 16) = 2 32 = 64 см²

Итак, полная поверхность прямоугольного параллелепипеда равна 64 см².