Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства равностороннего треугольника и связь между его высотой и радиусом вписанной окружности.

Обозначим:

• h - высота равностороннего треугольника;
• r - радиус вписанной окружности.

По условию задачи, высота треугольника на 10 см больше радиуса окружности:

h = r + 10

Теперь давайте вспомним, как связаны высота и радиус вписанной окружности для равностороннего треугольника. Для равностороннего треугольника со стороной a:

• Высота h равностороннего треугольника вычисляется по формуле: h = (sqrt(3)/2) * a.
• Радиус вписанной окружности r равностороннего треугольника вычисляется по формуле: r = a / (2 * sqrt(3)).

Теперь подставим выражение для r в уравнение для h:

h = (a / (2 * sqrt(3))) + 10

Также мы знаем, что h можно выразить через a:

h = (sqrt(3)/2) * a

Теперь у нас есть два выражения для h, и мы можем их приравнять:

(sqrt(3)/2) * a = (a / (2 * sqrt(3))) + 10

Теперь мы можем решить это уравнение для нахождения стороны a. Умножим обе части уравнения на 2 * sqrt(3) для удобства:

sqrt(3) * a^2 = a + 20 * sqrt(3)

Теперь перенесем все в одну сторону:

sqrt(3) * a^2 - a - 20 * sqrt(3) = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac, где a = sqrt(3),b = -1, c = -20 * sqrt(3).

Теперь подставим значения:

D = (-1)^2 - 4 * (sqrt(3)) * (-20 * sqrt(3))

D = 1 + 80 = 81

Теперь найдем корни уравнения:

a = (-b ± sqrt(D)) / (2a)

a = (1 ± 9) / (2 * sqrt(3))

Таким образом, мы получаем два значения для a:

• a1 = 10 / sqrt(3) (отбрасываем, так как a должно быть положительным);
• a2 = -4 / sqrt(3> (отбрасываем, так как a должно быть положительным).

Теперь подставим найденное значение a обратно в формулу для h:

h = (sqrt(3)/2) * a

Подставив значение a, мы можем найти высоту h. После подстановки и вычислений, мы получим:

h = 20 см.

Таким образом, высота равностороннего треугольника составляет 20 см.