Каково наименьшее значение суммы числителя и знаменателя второй из несократимых трёх дробей, если отношение числителей этих дробей равно 1:4:5, а отношение их знаменателей - 2:3:6, и среднее арифметическое этих дробей составляет 16/135?

Математика 8 класс Пропорции и дроби наименьшее значение суммы несократимые дроби отношение числителей отношение знаменателей среднее арифметическое дробей Новый

Для решения задачи начнем с обозначения дробей. Пусть у нас есть три дроби, которые мы можем записать следующим образом:

• Первая дробь: 1a / 2b
• Вторая дробь: 4a / 3b
• Третья дробь: 5a / 6b

Здесь a и b - это некоторые положительные числа, которые мы будем использовать для обозначения числителей и знаменателей дробей соответственно.

Теперь давайте найдем среднее арифметическое этих дробей:

Среднее арифметическое дробей можно вычислить по формуле:

(1a / 2b + 4a / 3b + 5a / 6b) / 3 = 16/135

Сначала найдем общий знаменатель для дробей. Общий знаменатель для 2b, 3b и 6b будет равен 6b. Теперь преобразуем дроби:

• 1a / 2b = 3a / 6b
• 4a / 3b = 8a / 6b
• 5a / 6b = 5a / 6b

Теперь подставим их в формулу для среднего арифметического:

(3a / 6b + 8a / 6b + 5a / 6b) / 3 = 16/135

Сложим числители:

(16a / 6b) / 3 = 16/135

Умножим обе стороны уравнения на 3:

16a / 6b = 48/135

Теперь умножим обе стороны на 6b:

16a = (48/135) * 6b

Упростим правую часть:

16a = (288/135)b

Теперь упростим дробь 288/135:

288 и 135 имеют общий делитель 9. Делим на 9:

288/9 = 32 и 135/9 = 15, значит 288/135 = 32/15.

Теперь у нас есть уравнение:

16a = (32/15)b

Разделим обе стороны на 16:

a = (32/15) / 16 * b = (32/240)b = (2/15)b.

Теперь мы можем найти числители и знаменатели дробей:

• Числитель первой дроби: 1a = (2/15)b
• Числитель второй дроби: 4a = (8/15)b
• Числитель третьей дроби: 5a = (10/15)b = (2/3)b

Теперь найдем сумму числителя и знаменателя второй дроби:

Числитель второй дроби равен (8/15)b, а знаменатель равен 3b. Сложим их:

(8/15)b + 3b = (8/15)b + (45/15)b = (53/15)b.

Теперь, чтобы минимизировать сумму (53/15)b, нам нужно минимизировать b. Поскольку b - это положительное число, минимальное значение, которое мы можем взять для b, это 15, чтобы избежать дробных значений:

Подставим b = 15:

Сумма будет равна (53/15)*15 = 53.

Таким образом, наименьшее значение суммы числителя и знаменателя второй дроби равно:

53