Чтобы найти длины диагоналей ромба, давайте обозначим длины диагоналей как d1 и d2. По условию, их соотношение равно 3:4, что можно записать следующим образом:

• d1 = 3x
• d2 = 4x

где x - некоторый коэффициент пропорциональности.

Также мы знаем, что в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Это значит, что половины диагоналей можно представить как:

• d1/2 = (3x)/2
• d2/2 = (4x)/2

Известно, что длина стороны ромба составляет 10 см. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны ромба. Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого половины диагоналей являются катетами:

Сторона ромба = sqrt((d1/2)^2 + (d2/2)^2)

Подставим наши выражения для половин диагоналей:

10 = sqrt(((3x)/2)^2 + ((4x)/2)^2)

Теперь упростим уравнение:

10 = sqrt((9x^2/4) + (16x^2/4))

10 = sqrt((25x^2)/4)

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

100 = (25x^2)/4

Умножим обе стороны на 4:

400 = 25x^2

Теперь разделим обе стороны на 25:

16 = x^2

Извлекаем корень из обеих сторон:

x = 4

Теперь подставим значение x обратно в наши выражения для диагоналей:

• d1 = 3x = 3 * 4 = 12 см
• d2 = 4x = 4 * 4 = 16 см

Таким образом, длины диагоналей ромба составляют:

• d1 = 12 см
• d2 = 16 см