Каковы размеры прямоугольника, если его периметр равен 14 см, а длина диагонали составляет 5 см?

Математика 8 класс Геометрия размеры прямоугольника периметр 14 см длина диагонали 5 см задача по математике геометрия 8 класс Новый

Для решения задачи о нахождении размеров прямоугольника, где известны периметр и длина диагонали, мы можем использовать несколько формул. Давайте разберем шаги решения подробнее.

Шаг 1: Запишем известные данные.

• Периметр (P) = 14 см
• Длина диагонали (d) = 5 см

Шаг 2: Вспомним формулы.

• Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: P = 2 * (a + b), где a и b - длины сторон прямоугольника.
• Длина диагонали прямоугольника вычисляется по формуле: d = √(a² + b²).

Шаг 3: Выразим одну из сторон через другую.

Из формулы периметра мы можем выразить одну сторону через другую. Например, выразим b через a:

• 14 = 2 * (a + b)
• 7 = a + b
• b = 7 - a

Шаг 4: Подставим это выражение в формулу для диагонали.

Теперь подставим b в формулу для диагонали:

• d = √(a² + b²)
• 5 = √(a² + (7 - a)²)

Шаг 5: Упростим уравнение.

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

• 25 = a² + (7 - a)²
• 25 = a² + (49 - 14a + a²)
• 25 = 2a² - 14a + 49

Шаг 6: Приведем уравнение к стандартному виду.

Переносим все в одну сторону:

• 0 = 2a² - 14a + 49 - 25
• 0 = 2a² - 14a + 24

Шаг 7: Упростим уравнение.

Разделим уравнение на 2:

• 0 = a² - 7a + 12

Шаг 8: Найдем корни уравнения.

Теперь найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1
• Корни уравнения: a = (7 ± √D) / 2 = (7 ± 1) / 2

Шаг 9: Вычислим значения a.

• a1 = (7 + 1) / 2 = 4 см
• a2 = (7 - 1) / 2 = 3 см

Шаг 10: Найдем b.

Теперь подставим найденные значения a обратно в уравнение для b:

• Если a = 4 см, то b = 7 - 4 = 3 см.
• Если a = 3 см, то b = 7 - 3 = 4 см.

Ответ:

Таким образом, размеры прямоугольника составляют 3 см и 4 см.