Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Пусть на доске записано число N, которое состоит из k цифр. Поскольку это нечетное натуральное число, последняя цифра N должна быть нечетной.

Когда мы стираем первые две цифры, мы получаем новое число M, которое является результатом удаления первых двух цифр числа N. По условию задачи, число N уменьшается в 149 раз, то есть:

N = 149 * M

Теперь рассмотрим структуру числа N. Если M - это число, полученное после удаления первых двух цифр, то N можно выразить как:

N = 100 * A + M

где A - это число, состоящее из первых двух цифр числа N.

Теперь подставим выражение для N в уравнение:

100 * A + M = 149 * M

Перепишем это уравнение:

100 * A = 149 * M - M

Упростим его:

100 * A = 148 * M

Теперь выразим M через A:

M = (100 / 148) * A

Сократим дробь:

M = (25 / 37) * A

Поскольку M должно быть натуральным числом, A должно быть кратно 37. Обозначим A = 37k, где k - натуральное число.

Теперь подставим A обратно в выражение для M:

M = (25 / 37) * 37k = 25k

Теперь мы можем выразить N через k:

N = 100 * (37k) + 25k = 3700k + 25k = 3725k

Так как N - нечетное число, k должно быть нечетным. Теперь найдем, какие значения k могут быть, чтобы N оставалось в пределах обычных чисел.

Рассмотрим различные нечетные значения k:

• k = 1: N = 3725 * 1 = 3725
• k = 3: N = 3725 * 3 = 11175
• k = 5: N = 3725 * 5 = 18625
• k = 7: N = 3725 * 7 = 25975
• k = 9: N = 3725 * 9 = 33325
• k = 11: N = 3725 * 11 = 40675
• k = 13: N = 3725 * 13 = 48025
• k = 15: N = 3725 * 15 = 55375
• k = 17: N = 3725 * 17 = 62725
• k = 19: N = 3725 * 19 = 70075

Теперь мы видим, что N может принимать значения 3725, 11175, 18625, 25975, 33325, 40675, 48025, 55375, 62725 и 70075. Теперь найдем их сумму:

Суммируем все найденные значения:

3725 + 11175 + 18625 + 25975 + 33325 + 40675 + 48025 + 55375 + 62725 + 70075 = 289500

Таким образом, сумма всех возможных значений N равна 289500.