На товарищеском турнире школьников по шахматам каждый школьник сыграл с каждым другим не более одной партии, а также с приглашённым гроссмейстером не более одной партии. Всего было сыграно 42 партии. Какое минимальное количество школьников могло участвовать в этом турнире?

Математика 8 класс Комбинаторика турнир школьников шахматы количество школьников гроссмейстер математическая задача комбинаторика решение задачи количество партий минимальное количество турниры по шахматам Новый

Для решения этой задачи давайте обозначим количество школьников как n. Поскольку каждый школьник сыграл с каждым другим не более одной партии, количество партий между школьниками можно выразить с помощью формулы для сочетаний:

• Количество партий между школьниками: C(n, 2) = n(n - 1) / 2

Кроме того, каждый школьник сыграл по одной партии с гроссмейстером, что добавляет n партий. Таким образом, общее количество сыгранных партий можно выразить следующим образом:

• Общее количество партий: C(n, 2) + n = n(n - 1) / 2 + n

Теперь мы знаем, что общее количество партий равно 42. Подставим это значение в уравнение:

n(n - 1) / 2 + n = 42

Умножим все на 2, чтобы избавиться от дроби:

n(n - 1) + 2n = 84

Соберем все в одно уравнение:

n^2 + n - 84 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя дискриминант:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-84) = 1 + 336 = 337

Теперь найдем корни уравнения:

• n = (-b ± √D) / 2a = (-1 ± √337) / 2

Поскольку √337 примерно равно 18.36, подставим это значение:

• n ≈ (-1 ± 18.36) / 2

Теперь найдем два возможных значения для n:

• n1 ≈ (17.36) / 2 ≈ 8.68 (отрицательный корень не рассматриваем)
• n2 ≈ (-19.36) / 2 (отрицательное значение не подходит)

Поскольку количество школьников должно быть целым, мы округляем n1 до ближайшего целого числа. Таким образом, n должно быть не менее 9, так как 8.68 округляется до 9.

Теперь проверим, подходит ли n = 9:

• Количество партий между школьниками: C(9, 2) = 9 * 8 / 2 = 36
• Количество партий с гроссмейстером: 9
• Общее количество партий: 36 + 9 = 45 (больше 42)

Теперь проверим n = 8:

• Количество партий между школьниками: C(8, 2) = 8 * 7 / 2 = 28
• Количество партий с гроссмейстером: 8
• Общее количество партий: 28 + 8 = 36 (меньше 42)

Таким образом, минимальное количество школьников, которое может участвовать в турнире и при этом общее количество партий составит 42, равно 9.

Ответ: Минимальное количество школьников, которое могло участвовать в турнире, равно 9.