Натуральные числа a и b обладают свойством, что 19a = 99b. Как можно подтвердить, что сумма a + b делится на 118?

Математика 8 класс Делимость натуральных чисел натуральные числа уравнение 19a = 99b сумма a + b делимость на 118 свойства натуральных чисел

Для решения данной задачи начнем с уравнения, которое у нас есть:

19a = 99b

Мы можем выразить одно из чисел через другое. Например, выразим a через b:

a = (99b) / 19

Теперь, чтобы a было натуральным числом, 99b должно делиться на 19. Проверим, делится ли 99 на 19:

99 делим на 19:

99 / 19 = 5,21 (приблизительно)

Таким образом, 99 не делится на 19 без остатка. Однако, мы можем рассмотреть делимость 99b на 19. Это значит, что b должно быть кратно 19. Обозначим b как:

b = 19k

где k - натуральное число. Теперь подставим это значение в уравнение для a:

a = (99 * 19k) / 19

Сократим 19:

a = 99k

Теперь у нас есть выражения для a и b:

• a = 99k
• b = 19k

Теперь найдем сумму a + b:

a + b = 99k + 19k = 118k

Мы видим, что сумма a + b равна 118k. Поскольку k - натуральное число, это означает, что сумма a + b делится на 118.

Таким образом, мы подтвердили, что сумма a + b делится на 118.

Для подтверждения того, что сумма натуральных чисел a и b делится на 118, начнем с заданного равенства:

19a = 99b

Мы можем выразить одно из чисел через другое. Перепишем уравнение:

a = (99/19)b

Теперь найдем общий делитель для 19 и 99. Мы можем разложить 99 на простые множители:

99 = 3^2 * 11

Теперь найдем наибольший общий делитель (НОД) для 19 и 99. Поскольку 19 является простым числом и не делится ни на 3, ни на 11, НОД равен 1. Это означает, что 19 и 99 взаимно простые.

Теперь мы можем выразить b через a:

b = (19/99)a

Подставим это значение b в выражение для суммы a + b:

a + b = a + (19/99)a = a(1 + 19/99) = a(99/99 + 19/99) = a(118/99)

Теперь мы видим, что сумма a + b равна:

a + b = (118/99)a

Чтобы a + b делилось на 118, необходимо, чтобы (118/99)a было целым числом. Так как a является натуральным числом, то 118a/99 также будет целым, если a кратно 99. Однако, в данном случае, делимость на 118 уже обеспечена самой структурой выражения.

Теперь мы можем сделать вывод:

• Сумма a + b = (118/99)a, где 118 является множителем.
• Таким образом, сумма a + b делится на 118, так как 118 является коэффициентом при a.

Следовательно, мы доказали, что сумма a + b делится на 118.