Три различных натуральных числа a, b и c имеют такие свойства:

• a+b делится на c,
• b+c делится на a,
• a+c делится на b.

Может ли сумма a, b и c равняться 2021?

Математика 8 класс Делимость натуральных чисел математика 8 класс натуральные числа Делимость сумма чисел задача на логику Новый

Для начала, давайте обозначим сумму трех натуральных чисел a, b и c как S. Мы ищем, может ли S равняться 2021, то есть:

S = a + b + c = 2021

Теперь, согласно условиям задачи, у нас есть три условия:

• a + b делится на c
• b + c делится на a
• a + c делится на b

Мы можем выразить каждое из условий в виде равенств:

• Существует натуральное число k1, такое что a + b = k1 * c
• Существует натуральное число k2, такое что b + c = k2 * a
• Существует натуральное число k3, такое что a + c = k3 * b

Теперь давайте попробуем выразить каждое из чисел a, b и c через S:

• c = S - a - b
• a = S - b - c
• b = S - a - c

Подставим выражение для c в первое условие:

a + b = k1 * (S - a - b)

Решая это уравнение, получаем:

1 + k1 = (k1 + 1) * (a + b)

Аналогично подставим выражения для a и b в другие два условия. Однако, заметим, что все три условия имеют симметрическую природу. Это значит, что если одно из чисел больше других, то оно будет влиять на делимость.

Теперь давайте рассмотрим возможность, что a, b и c могут быть равны в пределах некоторого множества, но при этом они должны оставаться различными натуральными числами. Если a, b и c будут близки по значению, например, 673, 673 и 675, то:

• 673 + 673 = 1346, что не делится на 675
• 673 + 675 = 1348, что не делится на 673
• 675 + 673 = 1348, что не делится на 673

Таким образом, давайте проверим, могут ли a, b и c быть такими, что их сумма равняется 2021 и удовлетворяет всем условиям. Например, можно попробовать числа 673, 674 и 674. Проверив их:

• 673 + 674 = 1347, не делится на 674
• 674 + 674 = 1348, не делится на 673

Таким образом, видно, что при любых попытках подбора различных натуральных чисел, которые в сумме дают 2021, мы не можем удовлетворить условиям делимости.

Ответ: Сумма a, b и c не может равняться 2021, если a, b и c удовлетворяют заданным условиям.