В белой таблице размером 100×100 клеток окрашено в красный цвет N (N > 0) клеток так, что количество красных клеток в любой фигуре, образованной объединением столбца и строки таблицы, делится на 3. Какое значение может принимать N?

Математика 8 класс Комбинаторика математика 8 класс задача на делимость красные клетки таблицы количество клеток фигуры из столбца и строки значение N Новый

Для решения этой задачи начнем с анализа условий. У нас есть таблица размером 100×100 клеток, и мы знаем, что количество красных клеток в любой фигуре, образованной объединением столбца и строки, должно делиться на 3.

Давайте обозначим:

• r - количество красных клеток в выбранном столбце;
• c - количество красных клеток в выбранной строке;
• k - количество красных клеток, находящихся в пересечении этого столбца и строки (то есть в той клетке, которая находится на пересечении выбранного столбца и строки).

Теперь мы можем выразить общее количество красных клеток в объединении выбранного столбца и строки следующим образом:

Общее количество красных клеток = r + c - k

Согласно условию задачи, это количество должно делиться на 3:

r + c - k ≡ 0 (mod 3)

Теперь рассмотрим, что происходит, если мы будем выбирать разные столбцы и строки. Если мы выберем разные пары (столбец, строка), то для каждой из них должно выполняться условие делимости на 3.

Теперь, чтобы выяснить, какое значение может принимать N (общее количество красных клеток), давайте проанализируем возможные значения:

1. Если количество красных клеток в каждом столбце и строке делится на 3, то сумма всех красных клеток в таблице также должна делиться на 3.
2. Поскольку у нас 100 столбцов и 100 строк, максимальное количество клеток в таблице равно 10000.
3. Таким образом, общее количество красных клеток N должно быть кратно 3.

Теперь давайте подытожим:

Ответ: N может принимать значения, кратные 3, от 3 до 9999 (включительно), так как N > 0 и не может превышать 10000.