Для решения задачи давайте сначала разберем, что означает условие, что количество красных клеток в любой фигуре, образованной объединением столбца и строки таблицы, делится на 3.

Мы имеем таблицу размером 100×100 клеток. Если мы выберем произвольный столбец и произвольную строку, то образуется фигура, состоящая из клеток, находящихся на пересечении выбранного столбца и строки. Всего в этой фигуре будет 100 клеток из столбца и 100 клеток из строки, но клетка, находящаяся на пересечении, будет посчитана дважды. Поэтому общее количество клеток в фигуре равно:

Количество клеток в фигуре = 100 + 100 - 1 = 199

Теперь, чтобы условие задачи выполнялось, количество красных клеток в этой фигуре должно делиться на 3. Поскольку 199 не делится на 3, нам нужно рассмотреть, как это может повлиять на количество красных клеток.

Пусть N - количество красных клеток. Мы можем предположить, что количество красных клеток в каждом столбце и в каждой строке также должно быть таким, чтобы сумма клеток в любой фигуре оставалась делимой на 3.

Рассмотрим клетку, находящуюся в позиции (i, j). Если клетка красная, то она добавляется к количеству красных клеток в соответствующем столбце i и строке j. Следовательно, если мы рассматриваем все строки и столбцы, то для каждого столбца и строки должно выполняться следующее:

• Количество красных клеток в столбце i + количество красных клеток в строке j - 1 (если клетка (i, j) красная) должно делиться на 3.
• Если клетка (i, j) не красная, то количество красных клеток в столбце i + количество красных клеток в строке j должно делиться на 3.

Таким образом, если мы обозначим количество красных клеток в каждом столбце как a_i, а в каждой строке как b_j, то для любого i и j должно выполняться:

a_i + b_j ≡ 1 (mod 3) (если клетка (i, j) красная)

a_i + b_j ≡ 0 (mod 3) (если клетка (i, j) не красная)

Теперь, чтобы найти допустимые значения N, мы можем заметить, что общее количество клеток в таблице равно 10000 (100×100), а количество красных клеток N должно быть таким, чтобы оставшиеся клетки (10000 - N) также соответствовали условиям задачи.

Таким образом, учитывая, что количество красных клеток в каждой строке и столбце должно быть согласовано, мы можем заключить, что N может принимать значения, которые соответствуют делимости на 3. Например, возможные значения для N могут быть:

• 3
• 6
• 9
• 12
• ... и так далее, до 9999

Таким образом, общее количество красных клеток N может быть любым положительным числом, которое делится на 3 и не превышает 10000.