В хоккейном первенстве участвуют 5 команд, и каждая пара команд должна сыграть один матч. Как можно доказать, что в любой момент соревнований найдутся две команды, которые сыграли одинаковое количество матчей?

Математика 8 класс Комбинаторика математика 8 класс хоккейное первенство команды матчи доказательство комбинаторика пара команд количество матчей Новый

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип Дирихле, который гласит, что если n объектов помещаются в m ящиков, и если n > m, то по крайней мере в одном ящике окажется более одного объекта.

В нашем случае:

• Объектами будут команды.
• Ящиками будут количество матчей, сыгранных каждой командой.

Теперь давайте проанализируем ситуацию:

1. У нас есть 5 команд.
2. Каждая команда может сыграть матчи с другими командами. Если мы рассмотрим все возможные пары команд, то общее количество матчей, которые могут быть сыграны, можно вычислить по формуле для сочетаний: C(5, 2) = 5! / (2!(5-2)!) = 10 матчей.
3. Каждая команда может сыграть от 0 до 4 матчей (поскольку каждая команда может сыграть с каждой из 4 других команд).

Таким образом, возможные количества сыгранных матчей для каждой команды могут быть следующими: 0, 1, 2, 3, 4.

Теперь, давайте рассмотрим возможные случаи:

• Если одна из команд сыграла 0 матчей, то другие 4 команды могут сыграть от 1 до 4 матчей.
• Если одна команда сыграла 1 матч, то остальные 4 команды могут сыграть от 0 до 3 матчей.
• Если одна команда сыграла 2 матча, то остальные 4 команды могут сыграть от 0 до 2 матчей.
• Если одна команда сыграла 3 матча, то остальные 4 команды могут сыграть от 0 до 1 матча.
• Если одна команда сыграла 4 матча, то все остальные команды должны были бы сыграть 0 матчей, что невозможно, так как они должны были бы сыграть хотя бы один матч с этой командой.

Таким образом, у нас есть 5 команд и только 5 возможных значений для количества сыгранных матчей (0, 1, 2, 3, 4). Но когда количество сыгранных матчей становится больше 4 (например, если хотя бы одна команда сыграла 5 матчей), то по принципу Дирихле, по крайней мере, две команды должны иметь одинаковое количество сыгранных матчей.

Следовательно, в любой момент соревнований найдутся две команды, которые сыграли одинаковое количество матчей. Это и доказывает утверждение, что в любой момент соревнований найдутся две команды с одинаковым количеством сыгранных матчей.