В классе, где учится 30 учеников, каждый день выбираются трое дежурных. Может ли произойти ситуация, при которой любые два одноклассника дежурили вместе, но не более одного раза?

Математика 8 класс Комбинаторика математика 8 класс задача на комбинаторику дежурные в классе выбор дежурных одноклассники дежурили вместе Новый

Для решения данной задачи, давайте сначала разберемся, что именно требуется. У нас есть 30 учеников, и каждый день выбираются трое дежурных. Мы хотим выяснить, возможно ли организовать дежурства так, чтобы любые два ученика дежурили вместе не более одного раза.

Для начала определим общее количество возможных пар учеников. Если у нас есть 30 учеников, то количество пар можно вычислить по формуле:

• Количество пар = C(n, 2) = n(n-1)/2, где n - количество учеников.

Подставляем n = 30:

• C(30, 2) = 30 * 29 / 2 = 435

Таким образом, у нас есть 435 уникальных пар учеников.

Теперь давайте посчитаем, сколько троек дежурных мы можем выбрать за определенное количество дней. Если мы выбираем троих дежурных из 30 учеников, то количество возможных троек можно вычислить по формуле:

• Количество троек = C(n, 3) = n! / (k!(n-k)!), где k = 3.

Подставляем n = 30 и k = 3:

• C(30, 3) = 30! / (3!(30-3)!) = (30 * 29 * 28) / (3 * 2 * 1) = 4060

Таким образом, мы можем выбрать 4060 различных троек дежурных.

Теперь, чтобы любые два ученика дежурили вместе не более одного раза, нам нужно, чтобы каждая пара учеников входила в одну из троек. Если мы будем дежурить 435 раз (столько пар у нас), то каждая пара сможет быть выбрана только один раз. При этом, если мы выберем 435 троек, то мы сможем обеспечить, что каждая пара дежурила вместе только один раз.

Теперь давайте посчитаем, сколько троек нам нужно, чтобы покрыть все 435 пар:

• Каждая тройка содержит 3 пары (например, тройка A, B, C содержит пары AB, AC, BC).
• Таким образом, если мы будем иметь x троек, то количество пар, которые они покроют, будет 3x.

Чтобы покрыть все 435 пар, нам нужно, чтобы:

• 3x ≥ 435

Решая это неравенство, получаем:

• x ≥ 145

Это означает, что нам нужно как минимум 145 троек, чтобы обеспечить, что каждая пара дежурила вместе не более одного раза.

Теперь, поскольку мы можем выбрать 4060 троек, и нам нужно только 145, то такая ситуация возможна. Таким образом, ответ на ваш вопрос:

Да, такая ситуация может произойти, если правильно организовать выбор дежурных.