В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно 3, а длина стороны основания составляет 5. Какой косинус угла образуется между плоскостями ABC1 и A1B1C?
Не могли бы вы подробно расписать решение?

Математика 8 класс Геометрия правильная треугольная призма боковое ребро длина стороны основания косинус угла плоскости ABC1 и A1B1C решение задачи по математике Новый

Для решения задачи нам нужно найти косинус угла между плоскостями ABC1 и A1B1C в правильной треугольной призме. Давайте разберем шаги, которые нам необходимо выполнить.

Шаг 1: Определим координаты вершин призмы

• Поскольку основание призмы - правильный треугольник со стороной 5, мы можем расположить его в координатной системе следующим образом:
• A(0, 0, 0)
• B(5, 0, 0)
• C(2.5, (5 * √3) / 2, 0) - высота треугольника равна (5 * √3) / 2, так как это высота равностороннего треугольника.
• Теперь добавим координаты верхних вершин, которые находятся на высоте 3 (длина бокового ребра):
• A1(0, 0, 3)
• B1(5, 0, 3)
• C1(2.5, (5 * √3) / 2, 3)

Шаг 2: Найдем нормали к плоскостям ABC1 и A1B1C

• Для нахождения нормали к плоскости ABC1, нужно взять векторы AB и AC:
• Вектор AB = B - A = (5, 0, 0) - (0, 0, 0) = (5, 0, 0)
• Вектор AC = C - A = (2.5, (5 * √3) / 2, 0) - (0, 0, 0) = (2.5, (5 * √3) / 2, 0)
• Нормаль к плоскости ABC1 = AB × AC (векторное произведение):
• Вычисляем векторное произведение:
• AB × AC = |i j k|
• |5 0 0|
• |2.5 (5 * √3) / 2 0|
• Это дает нормаль N1 = (0, 0, 5 * (5 * √3) / 2) = (0, 0, 12.5√3)

Шаг 3: Найдем нормаль к плоскости A1B1C

• Аналогично, для плоскости A1B1C, найдем векторы A1B1 и A1C:
• Вектор A1B1 = B1 - A1 = (5, 0, 3) - (0, 0, 3) = (5, 0, 0)
• Вектор A1C = C1 - A1 = (2.5, (5 * √3) / 2, 3) - (0, 0, 3) = (2.5, (5 * √3) / 2, 0)
• Нормаль к плоскости A1B1C = A1B1 × A1C:
• Вычисляем векторное произведение:
• A1B1 × A1C = |i j k|
• |5 0 0|
• |2.5 (5 * √3) / 2 0|
• Это дает нормаль N2 = (0, 0, 5 * (5 * √3) / 2) = (0, 0, 12.5√3)

Шаг 4: Найдем косинус угла между плоскостями

• Косинус угла между плоскостями можно найти по формуле:
• cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|), где • - скалярное произведение, |N| - длина вектора.
• Скалярное произведение N1 и N2 равно 0, так как они параллельны:
• Таким образом, cos(θ) = 0.

Шаг 5: Вывод

Косинус угла между плоскостями ABC1 и A1B1C равен 0, что означает, что угол между ними составляет 90 градусов.