Вопрос: В прямоугольнике меньшая сторона равна 20 см и образует с диагональю угол в 60°. Середины сторон прямоугольника последовательно соединены. Каков периметр полученного четырехугольника?

Дано:

• Меньшая сторона прямоугольника = 20 см
• Угол между меньшей стороной и диагональю = 60°

Чертеж:

Пожалуйста, нарисуйте прямоугольник с указанными параметрами и отметьте середины сторон для дальнейших расчетов.

Математика 8 класс Площадь и периметр фигур периметр четырёхугольника прямоугольник угол 60° меньшая сторона 20 см середины сторон задачи по математике 8 класс Новый

Чтобы решить задачу, давайте сначала разберемся с прямоугольником и его диагональю. У нас есть меньшая сторона прямоугольника, которая равна 20 см, и угол между этой стороной и диагональю составляет 60°. Мы будем использовать эти данные для нахождения длины большей стороны и диагонали.

1. Находим длину диагонали:

• Обозначим меньшую сторону прямоугольника как "a" (a = 20 см).
• Обозначим диагональ как "d". По определению косинуса угла в треугольнике, где одна сторона равна 20 см, а угол 60°, мы можем записать: cos(60°) = a / d. Подставим значение: cos(60°) = 20 / d.
• Зная, что cos(60°) = 0.5, у нас получится: 0.5 = 20 / d, откуда d = 20 / 0.5 = 40 см.

2. Находим длину большей стороны:

• Обозначим большую сторону прямоугольника как "b". Мы знаем, что в прямоугольнике выполняется теорема Пифагора: d^2 = a^2 + b^2. Подставим известные значения: 40^2 = 20^2 + b^2.
• Решим уравнение: 1600 = 400 + b^2, b^2 = 1600 - 400 = 1200, b = √1200 = 20√3 ≈ 34.64 см.

3. Теперь находим периметр полученного четырехугольника:

• Сначала найдем середины сторон прямоугольника:
• Середина меньшей стороны (20 см) будет равна 10 см.
• Середина большей стороны (20√3 см) будет равна 10√3 см ≈ 17.32 см.
• Теперь соединяем середины сторон. Полученный четырехугольник будет состоять из двух меньших сторон (по 10 см) и двух больших сторон (по 10√3 см).
• Периметр четырехугольника P = 2 * 10 + 2 * 10√3 = 20 + 20√3.
• Приблизительно: P ≈ 20 + 20 * 1.732 ≈ 20 + 34.64 ≈ 54.64 см.

Таким образом, периметр полученного четырехугольника составляет примерно 54.64 см.