Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Как можно доказать, что четырёхугольник A1 B1 C1 D2, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, является параллелограммом?

Математика 9 класс Геометрия параллелограмм диагонали параллелограмма середины отрезков доказательство параллелограмма свойства параллелограмма Новый

Чтобы доказать, что четырехугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, является параллелограммом, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма и координатами. Давайте рассмотрим шаги решения.

1. Определим координаты точек:
   • Пусть точка O - это начало координат (0, 0).
   • Обозначим координаты точек A, B, C и D как A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) и D(x4, y4).
2. Найдем координаты середины отрезков:
   • Координаты точки A1, являющейся серединой отрезка OA: A1((0 + x1) / 2, (0 + y1) / 2) = (x1 / 2, y1 / 2).
   • Координаты точки B1: B1((0 + x2) / 2, (0 + y2) / 2) = (x2 / 2, y2 / 2).
   • Координаты точки C1: C1((0 + x3) / 2, (0 + y3) / 2) = (x3 / 2, y3 / 2).
   • Координаты точки D1: D1((0 + x4) / 2, (0 + y4) / 2) = (x4 / 2, y4 / 2).
3. Проверим, что A1B1 и C1D1 параллельны:
   • Вектор A1B1: (x2 / 2 - x1 / 2, y2 / 2 - y1 / 2) = ((x2 - x1) / 2, (y2 - y1) / 2).
   • Вектор C1D1: (x4 / 2 - x3 / 2, y4 / 2 - y3 / 2) = ((x4 - x3) / 2, (y4 - y3) / 2).
   • Параллельность векторов A1B1 и C1D1 означает, что их координаты пропорциональны: (x2 - x1) / (x4 - x3) = (y2 - y1) / (y4 - y3).
4. Теперь проверим, что A1D1 и B1C1 параллельны:
   • Вектор A1D1: (x4 / 2 - x1 / 2, y4 / 2 - y1 / 2) = ((x4 - x1) / 2, (y4 - y1) / 2).
   • Вектор B1C1: (x3 / 2 - x2 / 2, y3 / 2 - y2 / 2) = ((x3 - x2) / 2, (y3 - y2) / 2).
   • Параллельность векторов A1D1 и B1C1 также означает, что их координаты пропорциональны: (x4 - x1) / (x3 - x2) = (y4 - y1) / (y3 - y2).
5. Заключение:
   • Если обе пары противоположных сторон A1B1 и C1D1, A1D1 и B1C1 являются параллельными, то четырехугольник A1B1C1D1 является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, является параллелограммом.