Для наполнения бассейна водой имеются три насоса. Первому насосу для наполнения бассейна требуется времени вдвое меньше, чем второму, но на 7 часов больше, чем третьему. Три насоса, работая вместе, наполнили бы бассейн за 4 часа. Но по условию эксплуатации одновременно должны работать только два насоса. Какое минимальное время (в минутах) потребуется для наполнения бассейна?

Математика 9 класс Системы уравнений математика 9 класс задача на насосы время наполнения бассейна работа насосов решение задачи система уравнений математическая задача Новый

Давайте решим задачу по шагам.

Обозначим:

• T1 - время, необходимое первому насосу для наполнения бассейна,
• T2 - время, необходимое второму насосу,
• T3 - время, необходимое третьему насосу.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие соотношения:

• T1 = T2 / 2 (первый насос наполняет бассейн вдвое быстрее второго),
• T1 = T3 + 7 (первый насос работает на 7 часов дольше третьего).

Теперь выразим T2 и T3 через T1:

• T2 = 2 * T1,
• T3 = T1 - 7.

Теперь найдем, сколько бассейн наполняется при работе всех насосов вместе. Если три насоса работают вместе, они наполняют бассейн за 4 часа. Это значит, что их производительность суммарно составляет:

• 1 / T1 + 1 / T2 + 1 / T3 = 1 / 4.

Подставим выражения для T2 и T3:

• 1 / T1 + 1 / (2 * T1) + 1 / (T1 - 7) = 1 / 4.

Теперь объединим эти дроби:

• 1 / T1 + 1 / (2 * T1) = (2 + 1) / (2 * T1) = 3 / (2 * T1).

Таким образом, у нас получается уравнение:

• 3 / (2 * T1) + 1 / (T1 - 7) = 1 / 4.

Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на 4 * 2 * T1 * (T1 - 7):

• 4 * 3 * (T1 - 7) + 4 * 2 * T1 = 2 * T1 * (T1 - 7).

Раскроем скобки:

• 12 * T1 - 84 + 8 * T1 = 2 * T1^2 - 14 * T1.

Соберем все в одну сторону:

• 2 * T1^2 - 14 * T1 - 20 * T1 + 84 = 0.

Упростим уравнение:

• 2 * T1^2 - 34 * T1 + 84 = 0.

Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 * 2 * 84 = 1156 - 672 = 484.

Находим корни:

• T1 = (34 ± sqrt(484)) / (2 * 2) = (34 ± 22) / 4.

Получаем два значения:

• T1 = (56) / 4 = 14,
• T1 = (12) / 4 = 3.

Поскольку T1 - это время, необходимое первому насосу, оно не может быть меньше, чем T3, следовательно, T1 = 14.

Теперь находим T2 и T3:

• T2 = 2 * 14 = 28,
• T3 = 14 - 7 = 7.

Теперь нам нужно найти минимальное время наполнения бассейна, используя два насоса. Мы можем использовать комбинации:

• Первый и второй насос (T1 и T2):
• Производительность = 1/14 + 1/28 = 3/28;
• Время = 28/3 = 9.33 часа.
• Первый и третий насос (T1 и T3):
• Производительность = 1/14 + 1/7 = 3/14;
• Время = 14/3 = 4.67 часа.
• Второй и третий насос (T2 и T3):
• Производительность = 1/28 + 1/7 = 5/28;
• Время = 28/5 = 5.6 часа.

Теперь переведем время в минуты:

• Первый и второй насос: 9.33 * 60 = 560 минут,
• Первый и третий насос: 4.67 * 60 = 280 минут,
• Второй и третий насос: 5.6 * 60 = 336 минут.

Минимальное время, необходимое для наполнения бассейна, составляет 280 минут.

Ответ: 280 минут.