Чтобы доказать, что число 1999 в степени 2000 минус 666 в степени 1999 делится на 5, воспользуемся свойством делимости и теоремой о остатках.

Сначала найдем остатки от деления чисел 1999 и 666 на 5:

• 1999 делим на 5: 1999 = 5 * 399 + 4, значит, остаток 1999 по модулю 5 равен 4.
• 666 делим на 5: 666 = 5 * 133 + 1, значит, остаток 666 по модулю 5 равен 1.

Теперь можем записать выражение 1999 в степени 2000 и 666 в степени 1999 по модулю 5:

• 1999 в степени 2000 по модулю 5: (1999 mod 5) ^ 2000 = 4 ^ 2000 mod 5.
• 666 в степени 1999 по модулю 5: (666 mod 5) ^ 1999 = 1 ^ 1999 mod 5.

Теперь вычислим 4 в степени 2000 по модулю 5. Мы можем заметить, что 4 по модулю 5 можно представить как -1, то есть:

• 4 = -1 mod 5.

Следовательно:

• 4 ^ 2000 mod 5 = (-1) ^ 2000 mod 5.
• Поскольку 2000 четное, (-1) ^ 2000 = 1.

Теперь вычислим 1 в степени 1999 по модулю 5:

• 1 ^ 1999 mod 5 = 1.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

• 1999 ^ 2000 - 666 ^ 1999 mod 5 = 1 - 1 mod 5 = 0 mod 5.

Таким образом, мы получили, что 1999 в степени 2000 минус 666 в степени 1999 дает в остатке 0 при делении на 5. Это означает, что данное выражение делится на 5 без остатка.

Ответ: 1999 ^ 2000 - 666 ^ 1999 делится на 5 без остатка.