Чтобы доказать, что числа 301 и 585 взаимно простые, мы должны показать, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это значит, что у них нет общих делителей, кроме 1.

Мы можем использовать метод деления с остатком (алгоритм Евклида) для нахождения НОД. Давайте рассмотрим шаги:

1. Начнем с деления большего числа на меньшее. В данном случае 585 делим на 301:
• 585 / 301 = 1 (целая часть)
• Остаток: 585 - 301 * 1 = 284
2. Теперь делим 301 на 284:
• 301 / 284 = 1 (целая часть)
• Остаток: 301 - 284 * 1 = 17
3. Следующий шаг — делим 284 на 17:
• 284 / 17 = 16 (целая часть)
• Остаток: 284 - 17 * 16 = 12
4. Теперь делим 17 на 12:
• 17 / 12 = 1 (целая часть)
• Остаток: 17 - 12 * 1 = 5
5. Продолжаем делить 12 на 5:
• 12 / 5 = 2 (целая часть)
• Остаток: 12 - 5 * 2 = 2
6. Теперь делим 5 на 2:
• 5 / 2 = 2 (целая часть)
• Остаток: 5 - 2 * 2 = 1
7. Наконец, делим 2 на 1:
• 2 / 1 = 2 (целая часть)
• Остаток: 2 - 1 * 2 = 0

Когда остаток становится равным 0, последний ненулевой остаток — это и есть НОД. В нашем случае последний ненулевой остаток равен 1.

Таким образом, НОД(301, 585) = 1. Это доказывает, что числа 301 и 585 взаимно простые, поскольку у них нет общих делителей, кроме 1.