Давайте поочередно докажем каждое из предложенных неравенств.

Для начала преобразуем данное неравенство:

1. Умножим обе стороны на 2 (так как 2 > 0, знак неравенства не изменится):
2. (a² + 1) ≥ 2a
3. Переносим 2a в левую часть:
4. a² - 2a + 1 ≥ 0

Теперь рассмотрим левую часть. Это квадратный трёхчлен:

(a - 1)² ≥ 0

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, (a - 1)² всегда больше или равно нуля. Таким образом, первое неравенство доказано.

Аналогично, начнем с преобразования неравенства:

1. Умножим обе стороны на 4:
2. (b² + 16) ≥ 4b
3. Переносим 4b в левую часть:
4. b² - 4b + 16 ≥ 0

Теперь рассмотрим этот квадратный трёхчлен:

b² - 4b + 16

Чтобы понять, может ли этот трёхчлен быть отрицательным, найдем его дискриминант:

D = (-4)² - 4 * 1 * 16 = 16 - 64 = -48

Поскольку дискриминант отрицательный, данный трёхчлен не имеет действительных корней и всегда положителен. Следовательно, второе неравенство также доказано.

Теперь рассмотрим третье неравенство:

1. Умножим обе стороны на (x² + 1) (это выражение всегда положительно, так как x² + 1 > 0):
2. 2x ≤ x² + 1
3. Переносим 2x в правую часть:
4. 0 ≤ x² - 2x + 1

Теперь рассмотрим левую часть:

x² - 2x + 1 = (x - 1)²

Как и в первом случае, квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, (x - 1)² всегда больше или равно нуля. Таким образом, третье неравенство тоже доказано.

Таким образом, мы доказали все три неравенства:

• (a² + 1)/2 ≥ a
• (b² + 16)/4 ≥ b
• (2x)/(x² + 1) ≤ 1