Докажите, что если выполняется равенство xy + z = yz + x = zx + y, то верно, что (x – y)(y – z)(z – x) = 0.

Математика 9 класс Системы уравнений равенство xy + z доказательство равенства x – y y – z z – x математические равенства свойства равенств алгебраические выражения Новый

Для доказательства данного равенства начнем с условия, что выполняется равенство:

xy + z = yz + x = zx + y.

Обозначим это равенство как A:

A: xy + z = yz + x = zx + y.

Теперь мы можем выразить z из первого равенства:

z = xy - x + yz.

Также можем выразить x из второго равенства:

x = yz - z + zx.

И, наконец, выразим y из третьего равенства:

y = zx - y + xy.

Теперь, чтобы доказать, что (x - y)(y - z)(z - x) = 0, мы должны показать, что хотя бы одно из значений (x - y), (y - z) или (z - x) равно нулю.

Рассмотрим два равенства:

1. xy + z = yz + x
2. yz + x = zx + y

Из первого равенства:

xy + z = yz + x

Переписываем его:

xy - x - yz + z = 0

или

x(y - 1) + z(1 - y) = 0.

Аналогично, из второго равенства:

yz + x = zx + y

Переписываем его:

yz - y - zx + x = 0

или

y(z - 1) + x(1 - z) = 0.

Теперь мы видим, что у нас есть два уравнения. Если хотя бы одно из произведений равно нулю, то одно из значений x, y или z должно совпадать. Рассмотрим три случая:

• Если x = y, то (x - y) = 0, и равенство выполняется.
• Если y = z, то (y - z) = 0, и равенство выполняется.
• Если z = x, то (z - x) = 0, и равенство выполняется.

Таким образом, мы пришли к выводу, что одно из значений (x - y), (y - z) или (z - x) обязательно равно нулю, что и доказывает, что:

(x - y)(y - z)(z - x) = 0.

Следовательно, условие задачи выполнено.