Докажите, что последовательность a𝑛 = 20/(𝑛^2 − 14𝑛 + 50) ограничена и найдите её наибольший член.

Математика 9 класс Последовательности и ряд последовательность a𝑛 20 n^2 14n 50 ограниченность наибольший член математика 9 класс доказательство анализ последовательности Новый

Для начала, давайте рассмотрим последовательность a_n = 20/(n² - 14n + 50). Чтобы доказать, что эта последовательность ограничена, нам нужно проанализировать выражение в знаменателе.

Знаменатель n² - 14n + 50 является квадратным трёхчленом. Мы можем найти его корни, используя дискриминант:

Дискриминант D = b² - 4ac = (-14)² - 4*1*50 = 196 - 200 = -4.

Так как дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения нет действительных корней, что значит, что парабола не пересекает ось абсцисс и всегда принимает одно и то же значение (либо положительное, либо отрицательное).

Посмотрим на коэффициенты: a = 1 (положительное), b = -14 (отрицательное), c = 50 (положительное). Таким образом, парабола открыта вверх и её минимальное значение будет находиться в вершине. Вершина параболы находится по формуле n = -b/(2a) = 14/2 = 7.

Теперь подставим n = 7 в знаменатель:

n² - 14n + 50 = 7² - 14*7 + 50 = 49 - 98 + 50 = 1.

Таким образом, минимальное значение знаменателя равно 1. Это значит, что:

a_n = 20/(n² - 14n + 50) ≤ 20/1 = 20.

Теперь рассмотрим, что происходит, когда n стремится к бесконечности. В этом случае n² будет доминировать в знаменателе, и a_n будет стремиться к 0:

lim (n→∞) a_n = lim (n→∞) 20/(n² - 14n + 50) = 0.

Таким образом, последовательность a_n ограничена сверху 20 и снизу 0. Теперь давайте найдем наибольший член последовательности.

Мы уже нашли, что минимальное значение знаменателя равно 1, когда n = 7. Следовательно:

a₇ = 20/(7² - 14*7 + 50) = 20/1 = 20.

Таким образом, наибольший член последовательности a_n равен 20, и последовательность ограничена.

Ответ: Последовательность a_n ограничена, её наибольший член равен 20.