К числителю и знаменателю дроби m/n (где m и n - положительные целые числа) прибавили по одному, и дробь стала больше 1/4. Если же от числителя и знаменателя данной дроби m/n отнять по три, то дробь будет удовлетворять неравенству 0 < m/n < 1/10. Какое значение имеет дробь m/n? (Ответ запишите в виде обычной дроби, например, 1/2)

Математика 9 класс Дроби дробь m/n неравенство дроби математика задача на дроби положительные целые числа решение неравенств дробь больше 1/4 дробь меньше 1/10 Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Запишем условия задачи

• Данная дробь: m/n.
• Если к числителю и знаменателю прибавить 1, то дробь станет больше 1/4:
• (m + 1)/(n + 1) > 1/4.
• Если от числителя и знаменателя отнять 3, то дробь будет удовлетворять неравенству:
• 0 < (m - 3)/(n - 3) < 1/10.

Шаг 2: Преобразуем первое неравенство

Начнем с первого неравенства:

(m + 1)/(n + 1) > 1/4.

Умножим обе стороны на (n + 1) (поскольку n > 0, это не изменит знак неравенства):

m + 1 > (1/4)(n + 1).

Умножим обе стороны на 4:

4(m + 1) > n + 1.

Раскроем скобки:

4m + 4 > n + 1.

Перепишем это неравенство:

4m - n > -3.

Шаг 3: Преобразуем второе неравенство

Теперь рассмотрим второе неравенство:

0 < (m - 3)/(n - 3) < 1/10.

Сначала разберемся с первой частью неравенства:

(m - 3)/(n - 3) > 0.

Это означает, что m - 3 и n - 3 должны иметь одинаковый знак. Поскольку m и n - положительные числа, это неравенство будет выполняться, если m > 3 и n > 3.

Теперь рассмотрим вторую часть:

(m - 3)/(n - 3) < 1/10.

Умножим обе стороны на (n - 3) (при условии, что n > 3):

m - 3 < (1/10)(n - 3).

Умножим обе стороны на 10:

10(m - 3) < n - 3.

Раскроем скобки:

10m - 30 < n - 3.

Перепишем это неравенство:

10m - n < 27.

Шаг 4: Система неравенств

Теперь у нас есть система неравенств:

• 4m - n > -3,
• 10m - n < 27.

Шаг 5: Решим систему неравенств

Перепишем неравенства так, чтобы выразить n:

• n < 4m + 3,
• n > 10m - 27.

Теперь объединим эти два неравенства:

10m - 27 < n < 4m + 3.

Шаг 6: Найдем целые значения m и n

Решим неравенства:

10m - 27 < 4m + 3.

Переносим 4m влево:

6m < 30.

Следовательно, m < 5.

Поскольку m - положительное целое число, m может быть 1, 2, 3 или 4.

Теперь проверим каждое значение m:

1. Если m = 4:
• n > 10*4 - 27 = 13, n < 4*4 + 3 = 19, значит n может быть 14, 15, 16, 17, 18.
2. Если m = 3:
• n > 10*3 - 27 = 3, n < 4*3 + 3 = 15, значит n может быть 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.
3. Если m = 2:
• n > 10*2 - 27 = -7, n < 4*2 + 3 = 11, значит n может быть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
4. Если m = 1:
• n > 10*1 - 27 = -17, n < 4*1 + 3 = 7, значит n может быть 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Шаг 7: Подбор значений

Теперь подберем значения для m и n, чтобы они удовлетворяли всем условиям:

• m = 4, n = 14: 4/14 = 2/7. Проверяем:
• (4 + 1)/(14 + 1) = 5/15 = 1/3 > 1/4 - верно.
• (4 - 3)/(14 - 3) = 1/11, 0 < 1/11 < 1/10 - неверно.
• m = 3, n = 10: 3/10. Проверяем:
• (3 + 1)/(10 + 1) = 4/11 > 1/4 - верно.
• (3 - 3)/(10 - 3) = 0 < 1/10 - верно.

Таким образом, дробь m/n равна 3/10.

Ответ:

3/10