Как доказать, что куб любого натурального числа либо делится на 9, либо, увеличенный или уменьшенный на 1, делится на 9?

Математика 9 класс Делимость чисел доказательство куба числа куб натурального числа делимость на 9 свойства кубов математика делимость чисел Новый

Давайте разберемся с этой увлекательной задачей! Мы хотим доказать, что куб любого натурального числа (n^3) либо делится на 9, либо, увеличенный или уменьшенный на 1, делится на 9. Это действительно захватывающее утверждение!

Для начала, давайте рассмотрим возможные остатки при делении натурального числа n на 3. Остатки могут быть следующими:

• Если n ≡ 0 (mod 3), то n делится на 3. В этом случае:
• n^3 ≡ 0^3 ≡ 0 (mod 3), следовательно, n^3 делится на 3.
n^3 ≡ 0 (mod 9), значит, n^3 делится на 9!
• Если n ≡ 1 (mod 3), то:
• n^3 ≡ 1^3 ≡ 1 (mod 3), значит, n^3 не делится на 3.
• Теперь проверим n^3 - 1: n^3 - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 3), следовательно, n^3 - 1 делится на 3!
• Но нам нужно проверить делимость на 9. Если n ≡ 1 (mod 3), то n ≡ 1 (mod 9) также.
• Если n ≡ 2 (mod 3), то:
• n^3 ≡ 2^3 ≡ 8 (mod 3), значит, n^3 не делится на 3.
• Теперь проверим n^3 + 1: n^3 + 1 ≡ 8 + 1 ≡ 0 (mod 3), следовательно, n^3 + 1 делится на 3!
• Также проверим делимость на 9. Если n ≡ 2 (mod 3), то n ≡ 2 (mod 9) также.

Теперь давайте подытожим:

1. Если n делится на 3, то n^3 делится на 9.
2. Если n ≡ 1 (mod 3), то n^3 - 1 делится на 9.
3. Если n ≡ 2 (mod 3), то n^3 + 1 делится на 9.

Таким образом, мы доказали, что куб любого натурального числа n либо делится на 9, либо, увеличенный или уменьшенный на 1, делится на 9! Это действительно замечательно и вдохновляюще! Давайте продолжать изучать математику с таким же энтузиазмом!