Как можно использовать производную для анализа функции: y=x^4+2x^3-5x^2? Заранее благодарю того, кто поможет с решением.

Математика 9 класс Исследование функций производная анализ функции y=x^4 2x^3 -5x^2 математика 9 класс нахождение производной функции график функции экстремумы функции Новый

Чтобы проанализировать функцию y = x^4 + 2x^3 - 5x^2 с помощью производной, мы можем выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

Шаг 1: Найдем производную функции

Сначала мы находим первую производную функции y. Для этого применим правило дифференцирования:

• Производная x^n = n*x^(n-1).

Теперь применим это правило к каждому члену функции:

• Производная x^4 = 4x^3.
• Производная 2x^3 = 6x^2.
• Производная -5x^2 = -10x.

Таким образом, первая производная будет:

y' = 4x^3 + 6x^2 - 10x.

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки функции находятся там, где производная равна нулю или не существует. Найдем точки, где y' = 0:

• 4x^3 + 6x^2 - 10x = 0.

Можно упростить уравнение, вынеся общий множитель:

2x(2x^2 + 3x - 5) = 0.

Теперь у нас есть два множителя:

• 2x = 0, что дает x = 0.
• 2x^2 + 3x - 5 = 0. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4*2*(-5) = 9 + 40 = 49.

Корни уравнения:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-3 + 7) / 4 = 1.
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-3 - 7) / 4 = -2.5.

Таким образом, критические точки: x = 0, x = 1, x = -2.5.

Шаг 3: Определим знак производной

Теперь мы можем определить, как изменяется функция в интервалах, разделенных критическими точками. Для этого выбираем тестовые точки в каждом интервале:

• Интервал (-∞, -2.5): например, x = -3.
• Интервал (-2.5, 0): например, x = -1.
• Интервал (0, 1): например, x = 0.5.
• Интервал (1, ∞): например, x = 2.

Теперь подставим эти значения в производную y' и определим знак:

• Для x = -3: y' = 4*(-3)^3 + 6*(-3)^2 - 10*(-3) > 0 (функция возрастает).
• Для x = -1: y' = 4*(-1)^3 + 6*(-1)^2 - 10*(-1) < 0 (функция убывает).
• Для x = 0: y' = 0 (проверяем точку, но она не меняет знак).
• Для x = 0.5: y' > 0 (функция возрастает).
• Для x = 2: y' > 0 (функция возрастает).

Шаг 4: Анализируем поведение функции

Теперь мы можем сделать выводы о поведении функции:

• Функция возрастает на интервале (-∞, -2.5).
• Функция убывает на интервале (-2.5, 0).
• Функция возрастает на интервале (0, 1).
• Функция возрастает на интервале (1, ∞).

Таким образом, у нас есть максимум в точке x = -2.5 и минимум в точке x = 0.

Шаг 5: Построение графика

На основе полученной информации можно построить график функции, отмечая критические точки и интервалы возрастания и убывания.

Таким образом, с помощью производной мы проанализировали функцию y = x^4 + 2x^3 - 5x^2, определили критические точки и поведение функции на различных интервалах.