Как можно определить первообразную для указанных функций:

1. f(x) = x + ctg^2 x
2. f(x) = (cos 2x) / (sin x - cos x)

Математика 9 класс Неопределённый интеграл определение первообразной первообразная функции математика 9 класс интегрирование функций нахождение первообразной функции и интегралы Новый

Чтобы найти первообразную для заданных функций, мы будем использовать основные правила интегрирования и некоторые известные формулы. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Для функции f(x) = x + ctg^2 x:

1. Первая часть функции - это просто x. Мы знаем, что первообразная от x равна (x^2)/2.
2. Вторая часть функции - это ctg^2 x. Мы можем использовать известное правило: первообразная от ctg^2 x равна -ctg x + C, где C - произвольная константа интегрирования.
3. Теперь объединим результаты: первообразная от f(x) будет равна (x^2)/2 - ctg x + C.

Ответ для первой функции:

F(x) = (x^2)/2 - ctg x + C

2. Для функции f(x) = (cos 2x) / (sin x - cos x):

1. Для этой функции полезно использовать замену переменной или тригонометрические тождества. Начнем с разложения функции.
2. Поскольку в числителе стоит cos 2x, мы можем воспользоваться формулой: cos 2x = cos^2 x - sin^2 x.
3. Теперь рассмотрим знаменатель: sin x - cos x. Мы можем попытаться упростить выражение, но в данном случае лучше использовать метод интегрирования по частям или тригонометрическую замену.
4. Попробуем сделать замену t = sin x - cos x. Тогда dt = (cos x + sin x) dx.
5. Теперь выразим dx через dt и подставим в интеграл. Это может привести к более простому виду интеграла.
6. Однако, в зависимости от уровня подготовки, это может быть довольно сложным. Поэтому в данном случае лучше воспользоваться таблицами интегралов или программами для нахождения интегралов.

Ответ для второй функции:

Интеграл f(x) = (cos 2x) / (sin x - cos x) может потребовать более сложных методов или численных методов для нахождения первообразной.

Таким образом, для первой функции мы нашли первообразную, а для второй функции рекомендуется использовать дополнительные ресурсы или методы для более точного решения.