Для функции y=2x^3+4x найдите первообразную, график которой проходит через точку M(-1;-6).

Математика 9 класс Неопределённый интеграл первообразная функции график функции точка M(-1;-6) математический анализ интегрирование функции Новый

Для нахождения первообразной функции y = 2x^3 + 4x, нам нужно выполнить интегрирование данной функции. Давайте разберем шаги решения:

1. Интегрирование функции: Мы будем находить неопределенный интеграл от функции y = 2x^3 + 4x.
2. Интеграл от 2x^3:
• По правилу интегрирования, интеграл от x^n равен (x^(n+1))/(n+1), где n не равен -1.
• Здесь n = 3, поэтому:
• Интеграл от 2x^3 = (2 * x^(3+1))/(3+1) = (2 * x^4)/4 = (1/2)x^4.
3. Интеграл от 4x:
• Здесь n = 1, поэтому:
• Интеграл от 4x = (4 * x^(1+1))/(1+1) = (4 * x^2)/2 = 2x^2.
4. Сложим результаты: Теперь мы можем записать первообразную:
• F(x) = (1/2)x^4 + 2x^2 + C, где C - произвольная константа.

Теперь нам необходимо найти значение константы C, используя условия задачи. Мы знаем, что график первообразной проходит через точку M(-1; -6).

1. Подставим координаты точки M в первообразную:
• F(-1) = (1/2)(-1)^4 + 2(-1)^2 + C = -6.
• Вычисляем: F(-1) = (1/2)(1) + 2(1) + C = 1/2 + 2 + C = 1/2 + 4/2 + C = 5/2 + C.
2. Решим уравнение:
• 5/2 + C = -6.
• Теперь перенесем 5/2 в правую часть: C = -6 - 5/2.
• Приведем к общему знаменателю: -6 = -12/2, тогда C = -12/2 - 5/2 = -17/2.

Теперь мы можем записать окончательную формулу для первообразной:

F(x) = (1/2)x^4 + 2x^2 - 17/2.

Таким образом, первообразная функции y = 2x^3 + 4x, проходящая через точку M(-1; -6), равна F(x) = (1/2)x^4 + 2x^2 - 17/2.