Как найти первообразную функции f(x)=4x^2-8x+7, если график этой функции проходит через точку м (1;4)?

Математика 9 класс Неопределённый интеграл первообразная функции нахождение первообразной график функции функция f(x) точка м (1;4) математика 9 класс Новый

Чтобы найти первообразную функции f(x) = 4x² - 8x + 7, нам нужно выполнить несколько шагов. Первоначально мы найдем неопределенный интеграл этой функции, а затем воспользуемся заданной точкой, чтобы найти постоянную интегрирования.

Шаг 1: Найдем неопределенный интеграл функции f(x).

Неопределенный интеграл функции f(x) записывается как:

∫f(x) dx = ∫(4x² - 8x + 7) dx.

Теперь интегрируем каждый член по отдельности:

• ∫4x² dx = (4/3)x³ + C₁, где C₁ - постоянная интегрирования;
• ∫(-8x) dx = -4x² + C₂, где C₂ - постоянная интегрирования;
• ∫7 dx = 7x + C₃, где C₃ - постоянная интегрирования.

Объединим результаты:

∫(4x² - 8x + 7) dx = (4/3)x³ - 4x² + 7x + C, где C = C₁ + C₂ + C₃.

Шаг 2: Найдем постоянную интегрирования C.

Теперь, чтобы найти значение C, используем информацию о том, что график функции проходит через точку м(1; 4). Это означает, что при x = 1, значение первообразной должно быть равно 4:

F(1) = (4/3)(1)³ - 4(1)² + 7(1) + C = 4.

Подставим значение x = 1 в найденную первообразную:

F(1) = (4/3) - 4 + 7 + C.

Упростим это выражение:

F(1) = (4/3) - (12/3) + (21/3) + C = (4 - 12 + 21)/3 + C = (13/3) + C.

Теперь приравняем это к 4:

(13/3) + C = 4.

Решим это уравнение для C:

C = 4 - (13/3) = (12/3) - (13/3) = -1/3.

Шаг 3: Запишем окончательную форму первообразной.

Теперь мы можем записать окончательную форму первообразной функции:

F(x) = (4/3)x³ - 4x² + 7x - 1/3.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 4x² - 8x + 7, проходящая через точку (1; 4), равна:

F(x) = (4/3)x³ - 4x² + 7x - 1/3.