Как можно определить точку минимума функции y=(13-x)*e^(13-x)?

Математика 9 класс Оптимизация функций точка минимума функция y=(13-x)*e^(13-x) определение минимума функции Новый

Чтобы определить точку минимума функции y = (13 - x) * e^(13 - x), нам нужно выполнить несколько шагов, связанных с нахождением производной и ее анализом. Давайте рассмотрим этот процесс подробнее.

Шаг 1: Найдем производную функции

Сначала найдем производную функции y по x. Мы будем использовать правило произведения, так как функция состоит из двух множителей: (13 - x) и e^(13 - x).

• Пусть u = (13 - x) и v = e^(13 - x).
• Тогда производная y будет равна y' = u'v + uv'.

Теперь найдем производные u и v:

• u' = -1 (производная от (13 - x) по x).
• v' = e^(13 - x) * (-1) = -e^(13 - x) (производная от e^(13 - x) по x).

Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

• y' = (-1) * e^(13 - x) + (13 - x) * (-e^(13 - x)) = -e^(13 - x) - (13 - x)e^(13 - x).

Таким образом, производная функции y будет:

y' = -e^(13 - x) * (1 + (13 - x)).

Шаг 2: Найдем критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

-e^(13 - x) * (1 + (13 - x)) = 0.

Так как e^(13 - x) никогда не равно нулю, мы можем упростить уравнение до:

1 + (13 - x) = 0.

Решая это уравнение, получаем:

13 - x = -1,

x = 14.

Шаг 3: Определим характер критической точки

Чтобы определить, является ли x = 14 точкой минимума или максимума, нужно проанализировать вторую производную или использовать тест на знаки первой производной.

Для использования теста на знаки первой производной, рассмотрим значения производной y' в интервалах:

• Для x < 14, например, x = 13: y' > 0 (функция возрастает).
• Для x > 14, например, x = 15: y' < 0 (функция убывает).

Таким образом, производная меняет знак с положительного на отрицательный в точке x = 14, что указывает на то, что это точка максимума.

Шаг 4: Проверим значение функции

Подставим x = 14 в исходную функцию, чтобы найти значение минимума:

y(14) = (13 - 14) * e^(13 - 14) = -1 * e^(-1) = -1/e.

Таким образом, мы определили, что точка минимума функции y = (13 - x) * e^(13 - x) находится в точке x = 14, и значение функции в этой точке равно -1/e.