Для решения системы уравнений {x^3 = x + 3y; y^3 = 3x + y} мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам найти решение этой системы.

1. Запишем уравнения:
   • Первое уравнение: x^3 = x + 3y
   • Второе уравнение: y^3 = 3x + y
2. Выразим y через x из первого уравнения:

   Перепишем первое уравнение:

   x^3 - x = 3y

   Теперь выразим y:

   y = (x^3 - x) / 3

3. Подставим y во второе уравнение:

   Теперь подставим найденное значение y во второе уравнение:

   (x^3 - x) / 3)^3 = 3x + (x^3 - x) / 3

4. Упростим уравнение:

   Для упрощения мы можем умножить обе стороны уравнения на 27 (чтобы избавиться от дробей):

   (x^3 - x)^3 = 27(3x + (x^3 - x) / 3)

   Это уравнение может быть довольно сложным, поэтому мы можем рассмотреть более простые способы нахождения решений.

5. Проверим простые целые значения:

   Поскольку у нас кубические уравнения, давайте проверим несколько целых значений для x и y:

   • Попробуем x = 0:
   • Подставляем в первое уравнение: 0^3 = 0 + 3y -> 0 = 3y -> y = 0
   • Проверим во втором уравнении: 0^3 = 3*0 + 0 -> 0 = 0 (верно)
   • Таким образом, (0, 0) является решением.
6. Проверим другие возможные значения:

   Попробуем x = 1:

   • Подставляем в первое уравнение: 1^3 = 1 + 3y -> 1 = 1 + 3y -> 0 = 3y -> y = 0
   • Проверим во втором уравнении: 0^3 = 3*1 + 0 -> 0 = 3 (неверно)

   Теперь попробуем x = 2:

   • Подставляем в первое уравнение: 2^3 = 2 + 3y -> 8 = 2 + 3y -> 6 = 3y -> y = 2
   • Проверим во втором уравнении: 2^3 = 3*2 + 2 -> 8 = 6 + 2 -> 8 = 8 (верно)

   Таким образом, (2, 2) также является решением.

7. Итак, мы нашли два решения:
   • (0, 0)
   • (2, 2)

Таким образом, система уравнений имеет решения (0, 0) и (2, 2). Если необходимо, можно продолжить проверять другие значения, но на данном этапе мы нашли два действительных решения.