Как можно решить уравнение cos2x - 5cosx - 2 = 0?

Математика 9 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнения cos2x 5cosx математические уравнения Тригонометрия алгебра 9 класс уравнения с косинусом Новый

Для решения уравнения cos2x - 5cosx - 2 = 0, начнем с того, что мы можем использовать тригонометрическую идентичность для выражения cos2x через cosx. Напомним, что:

• cos2x = 2(cosx)^2 - 1

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

2(cosx)^2 - 1 - 5cosx - 2 = 0.

Упростим уравнение:

• 2(cosx)^2 - 5cosx - 3 = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cosx. Обозначим cosx как y, тогда уравнение примет вид:

2y^2 - 5y - 3 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a),

где a = 2, b = -5, c = -3.

Подставим значения:

• b² - 4ac = (-5)² - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49.

Теперь находим корни:

• y = (5 ± √49) / (2 * 2) = (5 ± 7) / 4.

Рассмотрим два случая:

• y1 = (5 + 7) / 4 = 12 / 4 = 3,
• y2 = (5 - 7) / 4 = -2 / 4 = -0.5.

Теперь вернемся к переменной cosx:

• cosx = 3 (это значение не подходит, так как косинус не может превышать 1),
• cosx = -0.5.

Теперь найдем значения x, для которых cosx = -0.5. Это происходит в следующих квадрантах:

• x = 2π/3 + 2kπ,
• x = 4π/3 + 2kπ,

где k - любое целое число.

Таким образом, окончательный ответ для уравнения cos2x - 5cosx - 2 = 0:

• x = 2π/3 + 2kπ,
• x = 4π/3 + 2kπ, где k - целое число.