Решим уравнение 5 sin 2x - 2 sin x = 0. Для этого выполним следующие шаги:

1. Используем формулу двойного угла: Напомним, что sin 2x = 2 sin x cos x. Подставив это в уравнение, получим:
   • 5 * (2 sin x cos x) - 2 sin x = 0
   • 10 sin x cos x - 2 sin x = 0
2. Вынесем общий множитель за скобки: Видим, что sin x является общим множителем в обоих слагаемых. Вынесем его за скобки:
   • sin x (10 cos x - 2) = 0
3. Рассмотрим каждый множитель отдельно: Так как произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей должен равняться нулю. Рассмотрим два случая:
   1. sin x = 0
   2. 10 cos x - 2 = 0
4. Решим первое уравнение: sin x = 0
   • Значения x, при которых sin x = 0, равны x = πn, где n - целое число.
5. Решим второе уравнение: 10 cos x - 2 = 0
   • Решим это уравнение относительно cos x: 10 cos x = 2
   • cos x = 2/10 = 1/5
   • Значения x, при которых cos x = 1/5, равны x = ± arccos(1/5) + 2πk, где k - целое число.
6. Объединим решения:
   • Таким образом, общее решение уравнения 5 sin 2x - 2 sin x = 0 будет:
   • x = πn, где n - целое число
   • x = ± arccos(1/5) + 2πk, где k - целое число

Таким образом, мы нашли все решения данного тригонометрического уравнения.