Как найти линейное представление НОД чисел 546 и 231?

Математика 9 класс Наибольший общий делитель (НОД) линейное представление НОД чисел 546 и 231 математика нахождение НОД Новый

Чтобы найти линейное представление наибольшего общего делителя (НОД) чисел 546 и 231, мы можем использовать алгоритм Евклида, а также обратный ход алгоритма для нахождения коэффициентов, которые позволят выразить НОД в виде линейной комбинации данных чисел.

Давайте начнем с нахождения НОД с помощью алгоритма Евклида:

1. Делим большее число на меньшее и находим остаток:
• 546 делим на 231: 546 = 231 * 2 + 84 (остаток 84)
2. Теперь делим 231 на остаток 84:
• 231 делим на 84: 231 = 84 * 2 + 63 (остаток 63)
3. Далее делим 84 на 63:
• 84 делим на 63: 84 = 63 * 1 + 21 (остаток 21)
4. Затем делим 63 на 21:
• 63 делим на 21: 63 = 21 * 3 + 0 (остаток 0)

Когда остаток стал равен 0, последнее ненулевое значение остатка - это и есть НОД. В нашем случае:

НОД(546, 231) = 21

Теперь мы найдем линейное представление НОД, то есть такие целые числа x и y, что:

21 = 546 * x + 231 * y

Для этого мы будем использовать обратный ход алгоритма Евклида, начиная с последнего ненулевого остатка:

1. Из уравнения 84 = 546 - 231 * 2, выразим 84:
2. Из уравнения 63 = 231 - 84 * 2, подставим 84:
• 63 = 231 - (546 - 231 * 2) * 2
• 63 = 231 - 2 * 546 + 2 * 231
• 63 = 3 * 231 - 2 * 546
3. Теперь выразим 21 через 63 и 84:
• 21 = 84 - 63 * 1
• 21 = (546 - 231 * 2) - (3 * 231 - 2 * 546) * 1
• 21 = 546 - 2 * 231 - 3 * 231 + 2 * 546
• 21 = 3 * 546 - 5 * 231

Таким образом, мы нашли линейное представление НОД:

21 = 3 * 546 - 5 * 231

Итак, ответ: НОД(546, 231) = 21, и линейное представление НОД: 21 = 3 * 546 - 5 * 231.