Чтобы решить систему уравнений:

• 3x1 + 2x2 + x3 = 10
• x1 + 5x2 - 2x3 = -13
• 2x1 - 2x2 - x3 = 3

мы можем использовать метод подстановки или метод Гаусса. В данном случае я покажу решение с помощью метода Гаусса.

Шаг 1: Записать расширенную матрицу системы

Сначала мы представим систему уравнений в виде расширенной матрицы:

• [ 3 2 1 | 10 ]
• [ 1 5 -2 | -13 ]
• [ 2 -2 -1 | 3 ]

Шаг 2: Привести матрицу к верхнетреугольному виду

Для этого мы будем использовать элементарные преобразования строк.

1. Начнем с первой строки. Мы можем поменять местами первую и вторую строки, чтобы в первой строке был 1 в качестве ведущего элемента:

• [ 1 5 -2 | -13 ]
• [ 3 2 1 | 10 ]
• [ 2 -2 -1 | 3 ]

2. Теперь мы можем вычесть 3 раза первую строку из второй строки и 2 раза первую строку из третьей строки:

• [ 1 5 -2 | -13 ]
• [ 0 -13 7 | 49 ]
• [ 0 -12 3 | 29 ]

3. Теперь мы можем упростить вторую и третью строки. Для этого можем умножить вторую строку на -1/13:

• [ 1 5 -2 | -13 ]
• [ 0 1 -7/13 | -49/13 ]
• [ 0 -12 3 | 29 ]

4. Теперь мы можем добавить 12 раз вторую строку к третьей строке:

• [ 1 5 -2 | -13 ]
• [ 0 1 -7/13 | -49/13 ]
• [ 0 0 0 | 0 ]

Шаг 3: Обратная подстановка

Теперь у нас есть система уравнений:

• x1 + 5x2 - 2x3 = -13
• x2 - (7/13)x3 = -49/13

Из второго уравнения выразим x2:

x2 = -49/13 + (7/13)x3

Теперь подставим x2 в первое уравнение:

x1 + 5(-49/13 + (7/13)x3) - 2x3 = -13

Упростим это уравнение:

x1 - 245/13 + (35/13)x3 - 2x3 = -13

x1 + (35/13 - 26/13)x3 = -13 + 245/13

x1 + (9/13)x3 = -13 + 245/13

x1 + (9/13)x3 = 212/13

Теперь выразим x1:

x1 = 212/13 - (9/13)x3

Таким образом, у нас есть два выражения:

• x1 = 212/13 - (9/13)x3
• x2 = -49/13 + (7/13)x3

Шаг 4: Подбор значений

Теперь мы можем подставить любое значение для x3 и найти соответствующие x1 и x2. Например, если мы возьмем x3 = 0:

• x1 = 212/13 = 16.3077
• x2 = -49/13 = -3.7692

Таким образом, одно из решений системы уравнений:

• x1 = 16.3077
• x2 = -3.7692
• x3 = 0

Вы можете подставлять разные значения для x3, чтобы получить другие решения.