Как решить систему уравнений: 5x + y - 2z = 5, 10x + y + z = 0, x - y + z = -11, применяя метод Гаусса, и продемонстрировать процесс решения?

Математика 9 класс Системы линейных уравнений система уравнений метод Гаусса решение уравнений 5x + y - 2z = 5 10x + y + z = 0 x - y + z = -11 процесс решения математика 9 класс Новый

Чтобы решить систему уравнений методом Гаусса, нам нужно преобразовать систему в верхнетреугольный вид, а затем решить её с помощью обратной подстановки. Давайте рассмотрим вашу систему уравнений:

• 1) 5x + y - 2z = 5
• 2) 10x + y + z = 0
• 3) x - y + z = -11

Сначала запишем эту систему в виде augmented matrix (расширенной матрицы):

• [ 5 1 -2 | 5 ]
• [10 1 1 | 0 ]
• [ 1 -1 1 | -11 ]

Теперь начнем преобразование матрицы. Для этого мы будем использовать операции над строками.

1. Сначала сделаем так, чтобы первый элемент во втором уравнении стал равен 0. Для этого вычтем 2 * первую строку из второй:
• 2) 10 - 2*5 = 0
• 1 - 2*1 = -1
• 1 - 2*(-2) = 5
• 0 - 2*5 = -10
2. Теперь вторая строка будет выглядеть так: [ 0 -1 5 | -10 ].
3. Теперь преобразуем третью строку. Для этого вычтем 1/5 * первую строку из третьей:
• 3) 1 - 1/5*5 = 0
• -1 - 1/5*1 = -1 - 1/5 = -6/5
• 1 - 1/5*(-2) = 1 + 2/5 = 7/5
• -11 - 1/5*5 = -12
4. Третья строка будет: [ 0 -6/5 7/5 | -12 ].

Теперь у нас есть следующая матрица:

• [ 5 1 -2 | 5 ]
• [ 0 -1 5 | -10 ]
• [ 0 -6/5 7/5 | -12 ]

Теперь мы можем сделать элемент в третьей строке, который находится под вторым элементом второй строки, равным 0. Для этого мы можем использовать вторую строку:

1. Умножим вторую строку на 6/5 и добавим к третьей строке:
• 0 + 0 = 0
• -6/5 + 6/5*(-1) = 0
• 7/5 + 6/5*5 = 7/5 + 30/5 = 37/5
• -12 + 6/5*(-10) = -12 - 12 = -24
2. Таким образом, третья строка будет: [ 0 0 37/5 | -24 ].

Теперь у нас есть следующая матрица:

• [ 5 1 -2 | 5 ]
• [ 0 -1 5 | -10 ]
• [ 0 0 37/5 | -24 ]

Теперь мы можем решить систему уравнений, начиная с третьего уравнения:

1. 37/5 * z = -24
2. z = -24 * 5 / 37 = -120 / 37.

Теперь подставим значение z в уравнение 2:

1. -1 * y + 5 * (-120 / 37) = -10
2. -y - 600 / 37 = -10
3. -y = -10 + 600 / 37.
4. y = 10 - 600 / 37 = (370 - 600) / 37 = -230 / 37.

Теперь подставим значения y и z в уравнение 1:

1. 5x + (-230 / 37) - 2 * (-120 / 37) = 5.
2. 5x - 230 / 37 + 240 / 37 = 5.
3. 5x + 10 / 37 = 5.
4. 5x = 5 - 10 / 37.
5. x = (5 - 10 / 37) / 5 = (185 - 10) / 185 = 175 / 185 = 35 / 37.

Таким образом, мы получили решение:

• x = 35 / 37,
• y = -230 / 37,
• z = -120 / 37.

Вы можете проверить, подставив эти значения обратно в исходные уравнения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют системе.