Как решить систему уравнений тремя способами?

• 3х – 2 у + z = - 4
• 3 x + у - z = 17
• X – y + 32 = 3

Математика 9 класс Системы линейных уравнений решение системы уравнений методы решения уравнений способы решения уравнений система уравнений три уравнения математика решение уравнений Новый

Для решения системы уравнений можно использовать различные методы. В данной системе уравнений мы рассмотрим три способа: метод подстановки, метод исключения и метод матриц (Гаусса).

Система уравнений:

• 1) 3x - 2y + z = -4
• 2) 3x + y - z = 17
• 3) x - y + 32 = 3

Способ 1: Метод подстановки

1. Из третьего уравнения выразим переменную x:
   • x = y - 29
2. Подставим найденное значение x в первое и второе уравнения:
   • 3(y - 29) - 2y + z = -4
   • 3(y - 29) + y - z = 17
3. Упростим оба уравнения:
   • 3y - 87 - 2y + z = -4 => y + z = 83 (Уравнение 4)
   • 3y - 87 + y - z = 17 => 4y - z = 104 (Уравнение 5)
4. Теперь решим систему из уравнений 4 и 5:
   • Сложим уравнения: y + z + 4y - z = 83 + 104
   • 5y = 187 => y = 37.4
5. Подставим значение y обратно в уравнения 4 и 5 для нахождения z и x:
   • z = 83 - 37.4 = 45.6
   • x = 37.4 - 29 = 8.4

Способ 2: Метод исключения

1. Сначала выразим z из первого уравнения:
   • z = -4 - 3x + 2y
2. Подставим это значение z во второе уравнение:
   • 3x + y - (-4 - 3x + 2y) = 17
3. Упростим уравнение:
   • 3x + y + 4 + 3x - 2y = 17 => 6x - y = 13 (Уравнение 6)
4. Теперь используем уравнение 3 (x - y + 32 = 3) и уравнение 6 для решения:
   • Сначала выразим y из уравнения 6: y = 6x - 13
   • Подставим это значение в уравнение 3: x - (6x - 13) + 32 = 3
5. Решим уравнение для x:
   • -5x + 45 = 3 => -5x = -42 => x = 8.4
6. Теперь подставим x обратно для нахождения y и z:
   • y = 6(8.4) - 13 = 37.4
   • z = -4 - 3(8.4) + 2(37.4) = 45.6

Способ 3: Метод матриц (Гаусса)

1. Запишем систему уравнений в матричной форме:
   • A = [ 3 -2 1 3 1 -1 1 -1 0 ]
   • B = [ -4 17 3 ]
2. Применим метод Гаусса для приведения матрицы к верхнему треугольному виду. После ряда операций, мы получим:
   • 1) 3x - 2y + z = -4
   • 2) 0y + 3z = 83
   • 3) 0 = 0 (т.е. все уравнения совместны)
3. Теперь решим полученные уравнения по порядку, начиная с последнего:
   • z = 45.6
   • y = 37.4
   • Подставим y в первое уравнение для нахождения x: x = 8.4

Таким образом, в результате всех трех методов мы получили одно и то же решение:

• x = 8.4
• y = 37.4
• z = 45.6