Для решения данной системы уравнений мы воспользуемся несколькими тригонометрическими и алгебраическими методами. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Запишем систему уравнений:
   • Уравнение 1: x + y = π/3
   • Уравнение 2: sin x + sin y = 1
2. Выразим y через x из первого уравнения:
   • y = π/3 - x
3. Подставим выражение для y во второе уравнение:
   • sin x + sin(π/3 - x) = 1
4. Используем формулу приведения для sin(π/3 - x):
   • sin(π/3 - x) = sin(π/3)cos(x) - cos(π/3)sin(x)
   • Подставим значения sin(π/3) = √3/2 и cos(π/3) = 1/2:
   • sin(π/3 - x) = (√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x)
5. Подставим это в уравнение:
   • sin x + (√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x) = 1
   • Приведем подобные: (1 - 1/2)sin(x) + (√3/2)cos(x) = 1
   • 1/2 sin(x) + (√3/2)cos(x) = 1
6. Решим полученное уравнение:
   • Умножим всё уравнение на 2 для удобства: sin(x) + √3 cos(x) = 2
   • Рассмотрим уравнение как линейную комбинацию sin и cos: A sin(x) + B cos(x) = C
   • Здесь A = 1, B = √3, C = 2
7. Применим метод приведения к одной тригонометрической функции:
   • sin(x) + √3 cos(x) = 2 можно переписать как R sin(x + φ) = 2
   • Где R = √(A² + B²) = √(1 + 3) = 2
   • Поскольку R = 2, то sin(x + φ) = 1
   • Это возможно, когда x + φ = π/2 + 2kπ, где k - целое число
8. Найдем φ:
   • tan(φ) = B/A = √3/1 = √3
   • φ = π/3
9. Подставим φ в уравнение:
   • x + π/3 = π/2 + 2kπ
   • x = π/2 - π/3 + 2kπ
   • x = π/6 + 2kπ
10. Найдем соответствующие значения y:
    • y = π/3 - x = π/3 - (π/6 + 2kπ)
    • y = π/6 - 2kπ
11. Проверим решения:
    • Для k = 0, x = π/6, y = π/6
    • Проверка: sin(π/6) + sin(π/6) = 1/2 + 1/2 = 1
    • Оба уравнения системы выполняются.

Таким образом, одно из решений системы уравнений: x = π/6, y = π/6. Другие решения будут периодическими с периодом 2π, но в данном контексте нас интересует конкретное решение в пределах одного периода.