Как решить уравнение: lg(3x² + 28) - lg(3x - 2) = 1?

Математика 9 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы математика 9 класс lg алгебра задачи на логарифмы уравнения с логарифмами Новый

Чтобы решить уравнение lg(3x² + 28) - lg(3x - 2) = 1, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов.

Шаг 1: Применим свойства логарифмов.

Мы знаем, что разность логарифмов можно выразить как логарифм дроби:

lg(a) - lg(b) = lg(a/b).

Таким образом, наше уравнение можно переписать следующим образом:

lg((3x² + 28) / (3x - 2)) = 1.

Шаг 2: Преобразуем уравнение в экспоненциальную форму.

Логарифм с основанием 10 равен 1, если аргумент равен 10:

(3x² + 28) / (3x - 2) = 10.

Шаг 3: Умножим обе стороны на (3x - 2).

Это даст нам:

3x² + 28 = 10(3x - 2).

Шаг 4: Раскроем скобки.

10(3x - 2) = 30x - 20.

Теперь у нас есть уравнение:

3x² + 28 = 30x - 20.

Шаг 5: Переносим все члены в одну сторону.

3x² - 30x + 28 + 20 = 0.

3x² - 30x + 48 = 0.

Шаг 6: Упрощаем уравнение.

Мы можем разделить все коэффициенты на 3:

x² - 10x + 16 = 0.

Шаг 7: Решаем квадратное уравнение.

Мы можем использовать дискриминант для нахождения корней:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = -10, c = 16.

D = (-10)² - 4 * 1 * 16 = 100 - 64 = 36.

Шаг 8: Находим корни уравнения.

Корни находятся по формуле:

x = (-b ± √D) / (2a).

x = (10 ± √36) / 2.

x = (10 ± 6) / 2.

Теперь найдем два корня:

• x₁ = (10 + 6) / 2 = 16 / 2 = 8;
• x₂ = (10 - 6) / 2 = 4 / 2 = 2.

Шаг 9: Проверяем корни на допустимость.

Мы должны убедиться, что найденные значения x не делают выражения в логарифмах отрицательными или равными нулю.

• Для x = 8: 3x - 2 = 3*8 - 2 = 24 - 2 = 22 (допустимо);
• Для x = 2: 3x - 2 = 3*2 - 2 = 6 - 2 = 4 (допустимо).

Ответ: Корни уравнения: x = 8 и x = 2.