Как решить уравнение log3½(x-2)log5x=2log3(x-2)?

Математика 9 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы математика 9 класс Логарифмическое уравнение методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение log3½(x-2)log5x=2log3(x-2), начнем с анализа каждого логарифма и упрощения уравнения.

1. Перепишем уравнение, чтобы было легче работать с логарифмами:

log3½(x-2) * log5x = 2 * log3(x-2)

2. Обозначим y = log3(x-2). Тогда мы можем выразить log3½(x-2) как:

log3½(x-2) = log3(x-2) / log3(½) = y / (-1) = -y, так как log3(½) = -1.

3. Теперь перепишем log5x через log3. Используем формулу перехода между логарифмами:

log5x = log3x / log35

Здесь log35 можно выразить через логарифмы с основанием 3:

log35 = log3(5) / log3(3) = log3(5)

Таким образом, log5x = log3x / log3(5).

4. Подставим это в уравнение:

-y * (log3x / log3(5)) = 2y

5. Упростим уравнение:

-y * log3x = 2y * log3(5)

6. Переносим все члены с y в одну сторону:

-y * log3x - 2y * log3(5) = 0

7. Вынесем y за скобки:

y * (-log3x - 2log3(5)) = 0

8. Теперь у нас есть два возможных решения:

• y = 0
• -log3x - 2log3(5) = 0

9. Рассмотрим первое решение:

y = 0 означает, что log3(x-2) = 0, что приводит к:

x - 2 = 3^0 = 1

Следовательно, x = 3.

10. Теперь рассмотрим второе решение:

-log3x = 2log3(5) приводит к:

log3x = -2log3(5)

Это можно переписать как:

log3x = log3(5^(-2)) = log3(1/25)

Следовательно, x = 1/25.

11. Теперь у нас есть два кандидата на решение: x = 3 и x = 1/25.

12. Однако, нужно проверить, подходят ли эти значения для исходного уравнения, так как логарифмы определены только для положительных аргументов.

Для x = 3:

x - 2 = 1, что подходит.

Для x = 1/25:

x - 2 = 1/25 - 2 = -49/25, что не подходит, так как логарифм от отрицательного числа не определен.

Таким образом, единственное решение уравнения:

x = 3.