Чтобы решить уравнение log_{x+2}(2x^{2} + 5x - 2) = 2, следуем следующим шагам:

1. Переписываем уравнение в экспоненциальной форме. Уравнение log_{a}(b) = c эквивалентно a^c = b. В нашем случае основание логарифма (x + 2), а результат логарифма (2x^2 + 5x - 2). Таким образом, мы можем переписать уравнение как:
• x + 2 в степени 2 равно 2x^2 + 5x - 2.
2. Записываем это в виде уравнения:
• (x + 2)^2 = 2x^2 + 5x - 2
3. Раскроем скобки:
• (x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4
4. Теперь у нас есть:
• x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + 5x - 2
5. Переносим все члены в одну сторону уравнения:
• x^2 + 4x + 4 - 2x^2 - 5x + 2 = 0
• -x^2 - x + 6 = 0
6. Упрощаем уравнение:
• x^2 + x - 6 = 0
7. Решаем квадратное уравнение: Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -6.
8. Подставляем значения:
• b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.
• Теперь находим корни:
• x = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5) / 2.
9. Находим два корня:
• x1 = (4) / 2 = 2,
• x2 = (-6) / 2 = -3.
10. Проверяем, подходят ли найденные корни к условию логарифма: основание логарифма должно быть больше 0 и не равно 1.
• Для x1 = 2: x + 2 = 4, что подходит.
• Для x2 = -3: x + 2 = -1, что не подходит.
11. Следовательно, единственный корень уравнения:
• x = 2.

Таким образом, решением уравнения является x = 2.