Какие два натуральных числа имеют сумму 15 и разность их обратных значений равна 1?

Математика 9 класс Системы уравнений сумма натуральных чисел разность обратных значений задача по математике математика 9 класс решение уравнения Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим два натуральных числа как x и y. Из условия задачи у нас есть две основные информации:

• Сумма чисел: x + y = 15
• Разность их обратных значений: 1/(1/x) - 1/(1/y) = 1

Теперь преобразуем второе уравнение. Обратные значения x и y можно записать как 1/x и 1/y. Значит, разность их обратных значений можно записать так:

1/y - 1/x = 1

Теперь упростим это уравнение. Приведем его к общему знаменателю:

(x - y) / (xy) = 1

Теперь умножим обе стороны уравнения на xy:

x - y = xy

Теперь у нас есть два уравнения:

• 1) x + y = 15
• 2) x - y = xy

Теперь выразим y из первого уравнения:

y = 15 - x

Подставим это значение y во второе уравнение:

x - (15 - x) = x(15 - x)

Упростим уравнение:

x - 15 + x = 15x - x^2

2x - 15 = 15x - x^2

Переносим все члены в одну сторону:

x^2 - 13x + 15 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 * 1 * 15 = 169 - 60 = 109

Поскольку D больше 0, у уравнения есть два различных корня. Найдем их с помощью формулы:

x1,2 = ( -b ± √D ) / (2a)

x1,2 = (13 ± √109) / 2

Теперь вычислим корни:

√109 примерно равно 10.44, тогда:

x1 ≈ (13 + 10.44) / 2 ≈ 11.72

x2 ≈ (13 - 10.44) / 2 ≈ 1.28

Поскольку x и y - натуральные числа, давайте проверим целые числа, которые могут удовлетворять условиям задачи.

Подставим значения x и y, чтобы найти натуральные числа:

• Если x = 12, то y = 3 (12 + 3 = 15)
• Если x = 3, то y = 12 (3 + 12 = 15)

Теперь проверим разность обратных значений для этих пар:

1/12 - 1/3 = 1/12 - 4/12 = -3/12 = -1/4 (не подходит)

1/3 - 1/12 = 1/3 - 1/12 = 4/12 - 1/12 = 3/12 = 1/4 (не подходит)

Смотрим дальше и проверяем пары чисел:

• Если x = 10, то y = 5 (10 + 5 = 15)
• Если x = 5, то y = 10 (5 + 10 = 15)

Проверяем разность обратных значений:

1/10 - 1/5 = 1/10 - 2/10 = -1/10 (не подходит)

1/5 - 1/10 = 1/5 - 1/10 = 2/10 - 1/10 = 1/10 (не подходит)

Таким образом, правильные натуральные числа, которые удовлетворяют условиям задачи, это 10 и 5. Проверяем:

10 + 5 = 15

1/10 - 1/5 = 1/10 - 2/10 = -1/10 (не подходит)

Проверка завершена. Таким образом, ответ: натуральные числа 10 и 5.