Какое время потребуется, чтобы три насоса заполнили бассейн вместе, если первый и второй насосы делают это за 10 минут, второй и третий – за 15 минут, а первый и третий – за 18 минут?

Математика 9 класс Системы уравнений время заполнения бассейна насосы работа насосов математика 9 класс Задачи на совместную работу скорость насосов решение задачи математические уравнения Новый

Для решения этой задачи начнем с определения производительности каждого насоса. Обозначим производительность первого насоса как A, второго – как B, а третьего – как C. Производительность насоса измеряется в бассейнах за минуту.

Из условия задачи мы знаем:

• Первый и второй насосы заполняют бассейн за 10 минут: A + B = 1/10.
• Второй и третий насосы заполняют бассейн за 15 минут: B + C = 1/15.
• Первый и третий насосы заполняют бассейн за 18 минут: A + C = 1/18.

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1. A + B = 1/10
2. B + C = 1/15
3. A + C = 1/18

Теперь мы можем выразить каждую производительность через одну переменную. Начнем с первого уравнения:

Из первого уравнения выразим A:

A = 1/10 - B.

Теперь подставим A в третье уравнение:

(1/10 - B) + C = 1/18.

Упростим это уравнение:

C = 1/18 - (1/10 - B) = B - 1/10 + 1/18.

Теперь найдем общий знаменатель для дробей 1/10 и 1/18, который равен 90:

1/10 = 9/90, 1/18 = 5/90.

Таким образом, C = B - 9/90 + 5/90 = B - 4/90 = B - 2/45.

Теперь подставим C в уравнение B + C = 1/15:

B + (B - 2/45) = 1/15.

Упростим это уравнение:

2B - 2/45 = 1/15.

Теперь найдем общий знаменатель для дробей 1/15 и 2/45, который равен 45:

1/15 = 3/45.

Таким образом, 2B - 2/45 = 3/45.

Теперь решим уравнение:

2B = 3/45 + 2/45 = 5/45 = 1/9.

Следовательно, B = 1/18.

Теперь подставим значение B обратно, чтобы найти A и C:

A = 1/10 - 1/18 = 9/90 - 5/90 = 4/90 = 2/45.

C = B - 2/45 = 1/18 - 2/45 = 5/90 - 4/90 = 1/90.

Теперь у нас есть производительности насосов:

• A = 2/45 бассейна за минуту,
• B = 1/18 бассейна за минуту,
• C = 1/90 бассейна за минуту.

Теперь найдем общую производительность всех трех насосов:

A + B + C = 2/45 + 1/18 + 1/90.

Найдем общий знаменатель для этих дробей, который равен 90:

• 2/45 = 4/90,
• 1/18 = 5/90,
• 1/90 = 1/90.

Теперь складываем:

A + B + C = 4/90 + 5/90 + 1/90 = 10/90 = 1/9.

Таким образом, все три насоса вместе заполняют бассейн со скоростью 1/9 бассейна за минуту. Теперь мы можем найти, сколько времени потребуется, чтобы заполнить один бассейн:

Время = 1 / (A + B + C) = 1 / (1/9) = 9 минут.

Ответ: Все три насоса вместе заполнят бассейн за 9 минут.