Какова длина и ширина первоначального прямоугольника, если его периметр равен 70 см, и при уменьшении длины на 5 см и увеличении ширины на 5 см площадь увеличивается на 50 см²?

Математика 9 класс Системы уравнений длина прямоугольника ширина прямоугольника периметр 70 см площадь увеличилась на 50 см² задача по математике 9 класс Новый

Для решения задачи начнем с обозначения длины и ширины первоначального прямоугольника:

• L - длина прямоугольника
• W - ширина прямоугольника

Сначала запишем уравнение для периметра прямоугольника. Периметр P прямоугольника вычисляется по формуле:

P = 2 * (L + W)

По условию, периметр равен 70 см, поэтому:

2 * (L + W) = 70

Разделим обе стороны уравнения на 2:

L + W = 35

Теперь у нас есть первое уравнение:

1. L + W = 35

Далее, рассмотрим второе условие, которое связано с изменением длины и ширины. Если длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 см². Площадь S прямоугольника вычисляется по формуле:

S = L * W

Площадь нового прямоугольника будет:

S' = (L - 5) * (W + 5)

По условию задачи, разница между новой и старой площадями составляет 50 см²:

S' - S = 50

(L - 5) * (W + 5) - L * W = 50

Раскроем скобки:

L * W + 5L - 5W - 25 - L * W = 50

Сократим L * W:

5L - 5W - 25 = 50

Теперь упростим уравнение:

5L - 5W = 75

Разделим обе стороны на 5:

L - W = 15

Теперь у нас есть второе уравнение:

2. L - W = 15

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. L + W = 35
2. L - W = 15

Решим эту систему. Сложим оба уравнения:

(L + W) + (L - W) = 35 + 15

2L = 50

Разделим обе стороны на 2:

L = 25

Теперь подставим значение L в первое уравнение:

25 + W = 35

W = 35 - 25

W = 10

Таким образом, длина и ширина первоначального прямоугольника равны:

• Длина (L) = 25 см
• Ширина (W) = 10 см

Проверим условия задачи:

• Периметр: 2 * (25 + 10) = 70 см (верно)
• Площадь: 25 * 10 = 250 см²
• Новая площадь: (25 - 5) * (10 + 5) = 20 * 15 = 300 см²
• Увеличение площади: 300 - 250 = 50 см² (верно)

Следовательно, все условия задачи выполнены, и ответ правильный.