Чтобы найти область определения функции y = √(3x - x²),нам нужно определить, при каких значениях x выражение под корнем будет неотрицательным. Это важно, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определён в рамках действительных чисел.

Следовательно, мы должны решить неравенство:

Для этого сначала перепишем неравенство в стандартной форме:

Теперь мы можем умножить всё неравенство на -1, но при этом поменяем знак неравенства:

Теперь мы можем вынести x за скобки:

Теперь нам нужно найти корни этого неравенства. Корни находятся при равенстве:

Это уравнение имеет два корня:

• x = 0
• x = 3

Теперь мы можем определить промежутки, в которых неравенство выполняется. Для этого рассмотрим три промежутка, образованные корнями:

• (-∞, 0)
• (0, 3)
• (3, +∞)

Теперь проверим знак выражения x(x - 3) на каждом из этих промежутков:

1. Для x < 0 (например, x = -1):
• (-1)(-1 - 3) = (-1)(-4) = 4 (положительное)
2. Для 0 < x < 3 (например, x = 1):
• (1)(1 - 3) = (1)(-2) = -2 (отрицательное)
3. Для x > 3 (например, x = 4):
• (4)(4 - 3) = (4)(1) = 4 (положительное)

Таким образом, неравенство x(x - 3) ≤ 0 выполняется на промежутке [0, 3].

Следовательно, область определения функции y = √(3x - x²) будет:

Это означает, что функция определена для всех значений x от 0 до 3, включая сами концы промежутка.