Какова вероятность того, что хотя бы одна клетка в клетчатом прямоугольнике высотой 4 и шириной 22 будет покрашена дважды, если Вася красит горизонтальный прямоугольник размером 1×3 клетки, а Петя красит вертикальный прямоугольник размером 3×1 клетки?

Математика 9 класс Вероятность вероятность клетчатый прямоугольник высота 4 ширина 22 Вася Петя покрашенные клетки математика задачи на вероятность комбинаторика Новый

Для решения данной задачи необходимо рассмотреть несколько аспектов, связанных с вероятностями и размещением покрашенных клеток. Мы будем анализировать, как покраска клеток Васей и Петей может пересекаться, и вычислим вероятность того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды.

Шаг 1: Определение области покраски

• Клетчатый прямоугольник имеет размеры 4 (высота) на 22 (ширина), что составляет 88 клеток в общей сложности.
• Вася красит горизонтальный прямоугольник размером 1×3 клетки, что означает, что он выбирает 1 строку и 3 соседние клетки в этой строке.
• Петя красит вертикальный прямоугольник размером 3×1 клетки, что означает, что он выбирает 3 соседние строки и 1 колонку.

Шаг 2: Определение возможных вариантов покраски

• Вася может выбрать любую из 4 строк и 20 возможных стартовых позиций для своего 1×3 прямоугольника (от 1 до 20 в пределах 22 клеток).
• Таким образом, количество способов, которыми Вася может покрасить клетки, составляет: 4 (строки) × 20 (позиции) = 80.
• Петя может выбрать любую из 20 колонок и 2 возможные стартовые позиции для своего 3×1 прямоугольника (от 1 до 2 в пределах 4 клеток).
• Таким образом, количество способов, которыми Петя может покрасить клетки, составляет: 20 (колонки) × 2 (позиции) = 40.

Шаг 3: Определение случаев пересечения

• Теперь нам нужно выяснить, при каких условиях клетки, покрашенные Васей, пересекаются с клетками, покрашенными Петей.
• Если Вася красит клетки (r, c), (r, c+1), (r, c+2), а Петя красит клетки (r1, c1), (r1+1, c1), (r1+2, c1), то пересечение происходит, если:
• Существует r = r1 и c <= c1 <= c + 2, или
• Существует c = c1 и r <= r1 <= r + 1.

Шаг 4: Подсчет вероятности

• Общее количество вариантов, при которых Вася и Петя могут покрасить клетки, составляет 80 × 40 = 3200.
• Теперь нужно подсчитать количество случаев, когда клетки не пересекаются. Это более сложная задача, так как нужно учитывать все возможные варианты.
• Однако, проще будет подсчитать количество случаев, когда покраска происходит без пересечения и вычесть это из общего количества вариантов.

Шаг 5: Вычисление конечной вероятности

• Вероятность того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды, можно выразить как:
• P(пересечение) = 1 - P(без пересечения).

Таким образом, для окончательного ответа нам необходимо более подробно проанализировать количество случаев без пересечения. Однако, даже без точного подсчета, можно предположить, что вероятность пересечения будет достаточно высокой из-за ограниченности пространства и размеров прямоугольников. Примерный ответ может быть около 50% или выше, но для точного вычисления необходимо провести больше расчетов.