Каковы два натуральных числа, если их произведение равно 399, а сумма их квадратов составляет 802?

Математика 9 класс Системы уравнений натуральные числа произведение 399 сумма квадратов 802 задача на нахождение чисел математика 9 класс Новый

Чтобы найти два натуральных числа, произведение которых равно 399, а сумма их квадратов равна 802, давайте обозначим эти числа как x и y.

У нас есть две основные уравнения:

• 1) x * y = 399
• 2) x^2 + y^2 = 802

Сначала воспользуемся первым уравнением, чтобы выразить одно число через другое. Из первого уравнения можно выразить y:

y = 399 / x

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение:

x^2 + (399 / x)^2 = 802

Теперь упростим это уравнение:

Сначала найдем (399 / x)^2:

(399 / x)^2 = 399^2 / x^2 = 158401 / x^2

Теперь подставим это в уравнение:

x^2 + 158401 / x^2 = 802

Умножим всё уравнение на x^2, чтобы избавиться от дроби:

x^4 - 802x^2 + 158401 = 0

Теперь сделаем замену переменной. Пусть z = x^2. Тогда уравнение примет вид:

z^2 - 802z + 158401 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:

z = (b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Здесь a = 1, b = -802, c = 158401. Подставим значения:

z = (802 ± √((-802)^2 - 4 * 1 * 158401)) / (2 * 1)

Сначала найдем дискриминант:

D = (-802)^2 - 4 * 1 * 158401 = 643204 - 633604 = 10000

Теперь подставим значение дискриминанта в формулу:

z = (802 ± √10000) / 2 = (802 ± 100) / 2

Теперь найдем два возможных значения для z:

1. z1 = (802 + 100) / 2 = 902 / 2 = 451
2. z2 = (802 - 100) / 2 = 702 / 2 = 351

Теперь вернемся к x:

x^2 = 451 или x^2 = 351

Следовательно, x может быть равен:

x = √451 или x = √351

Однако, поскольку x и y должны быть натуральными числами, мы должны найти целые значения для x и y. Для этого вернемся к нашему первому уравнению и попробуем найти целые пары (x, y), которые удовлетворяют условиям:

Мы знаем, что x * y = 399. Найдем делители числа 399:

Делители 399: 1, 3, 7, 9, 19, 21, 57, 133, 399.

Теперь проверим каждую пару делителей:

• 1 и 399: 1^2 + 399^2 = 1 + 158401 = 158402 (не подходит)
• 3 и 133: 3^2 + 133^2 = 9 + 17689 = 17698 (не подходит)
• 7 и 57: 7^2 + 57^2 = 49 + 3249 = 3298 (не подходит)
• 9 и 43: 9^2 + 43^2 = 81 + 1849 = 1930 (не подходит)
• 19 и 21: 19^2 + 21^2 = 361 + 441 = 802 (подходит)

Таким образом, мы нашли, что два натуральных числа, произведение которых равно 399, а сумма квадратов равна 802, это 19 и 21.