Каковы два натуральных числа, если их сумма равна 15, а разница чисел, обратных к ним, составляет 1/18?

Математика 9 класс Системы уравнений математика 9 класс натуральные числа сумма 15 разница обратных чисел уравнение задача на числа решение задач алгебра математические задачи школьная математика Новый

Для решения этой задачи начнем с обозначения двух натуральных чисел. Пусть первое число - это x, а второе - y. Из условия задачи мы знаем, что:

• Сумма чисел: x + y = 15
• Разница чисел, обратных к ним: 1/x - 1/y = 1/18

Теперь мы можем выразить y через x из первого уравнения:

y = 15 - x

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

1/x - 1/(15 - x) = 1/18

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей x и (15 - x) будет равен x(15 - x). Поэтому у нас получится:

(15 - x - x) / (x(15 - x)) = 1/18

Упростим числитель:

(15 - 2x) / (x(15 - x)) = 1/18

Теперь умножим обе стороны уравнения на 18 * x(15 - x) для устранения знаменателей:

18(15 - 2x) = x(15 - x)

Теперь раскроем скобки:

270 - 36x = 15x - x^2

Переносим все на одну сторону уравнения:

x^2 - 51x + 270 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-51)^2 - 4 * 1 * 270 = 2601 - 1080 = 1521

Теперь найдем корни уравнения:

x = (51 ± √1521) / 2

Так как √1521 = 39, то:

x = (51 + 39) / 2 = 45 / 2 = 22.5 (не натуральное число)

или

x = (51 - 39) / 2 = 12 / 2 = 6

Теперь, подставив x = 6, найдем y:

y = 15 - 6 = 9

Таким образом, два натуральных числа, которые удовлетворяют условиям задачи, это:

6 и 9

Проверим: их сумма 6 + 9 = 15, а разница обратных к ним 1/6 - 1/9:

1/6 - 1/9 = (3 - 2) / 18 = 1/18. Условие выполнено.

Ответ: 6 и 9